设曲线在[a,b]上连续,且f(x)>0,又F(x)=∫axf(t)dt+,问方程F(x)=0在(a,b)内有_______个实根.

admin2015-08-28  51

问题 设曲线在[a,b]上连续,且f(x)>0,又F(x)=∫axf(t)dt+,问方程F(x)=0在(a,b)内有_______个实根.

选项

答案1

解析 首先证明F(x)在(a,b)内有根

    因为f(x)>0,b>a,所以F(a)<0,F(b)>0.
    又f(x)在[a,b]上连续,F(x)在[a,b]上可导,所以F(x)在[a,b]上必连续,由闭区间上连续函数的性质,至少存在一个ξ∈(a,b),使F(ξ)=0.
    又因为

F(x)在[a,b]内单调增,所以F(x)在(a,b)内有唯一实根(或F’(x)=,所以F(x)在(a,b)内单调增,在(a,b)内有唯一实根).
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