问λ取何值时，二次型f=x12+4x22+4x32+2λx1x2－2x1x3+4x2x3为正定二次型?

admin2021-01-25 64

问题问λ取何值时，二次型f=x₁²+4x₂²+4x₃²+2λx₁x₂－2x₁x₃+4x₂x₃为正定二次型?

选项

答案f的矩阵为 [*] 二次型f正定的充分必要条件是：A的顺序主子式全为正。而A的顺序主子式为： D₁=1，D₂=[*]=4－λ²，D₃=|A| [*] =－4(λ－1)(λ+2)，于是，f正定的充分必要条件是：D₂＞0，D₃＞0．由D₂=4－λ²＞0，可见－2＜λ＜2 由D₃=－4(λ－1)(λ+2)＞0，可见－2＜λ＜1 可见－2＜λ＜1．因此，二次型f正定当且仅当－2＜λ＜1．

解析

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考研数学三

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