设A=(aij)是3阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则｜A｜=________．

admin2018-07-31 56

问题设A=(a_ij)是3阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，A_ij为a_ij的代数余子式．若a_ij+A_ij=0(i，j=1，2，3)，则｜A｜=________．

选项

答案一1．

解析由A≠O，不妨设a₁₁≠0，由已知的A_ij=一a_ij(i，j=1，2，3)，得
｜A｜一

a_1j²≠0，
及A=一(A^*)^T．其中A^*为A的伴随矩阵．以下有两种方法：
方法1 用A^T右乘A=一(A^*)^T的两端．得
AA^T=一(A^*)AT=一(AA^*)^T=一(｜A｜I)^T，
其中I为3阶单位矩阵，上式两端取行列式，得
｜A｜²=(一1)³=｜A｜³，或｜A｜²(1+｜A｜)=0．
因｜A｜≠0，所以｜A｜=一1．
方法2 从A=一(A^*)^T两端取行列式，并利用｜A^*｜=｜A｜²．得
｜A｜=(一1)³｜A^*｜=一｜A｜²，或｜A｜(1+｜A｜)=0，
因｜A｜≠0，所以｜A｜=一1．

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考研数学一

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