2. 考研
  3. 设A=(aij)是3阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则｜A｜=________．

设A=(aij)是3阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则｜A｜=________．

admin2018-07-31  38
问题 设A=(aij)是3阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则｜A｜=________．
选项
答案一1．
解析 由A≠O，不妨设a11≠0，由已知的Aij=一aij(i，j=1，2，3)，得
    ｜A｜一a1j2≠0，
及A=一(A*)T．其中A*为A的伴随矩阵．以下有两种方法：
    方法1  用AT右乘A=一(A*)T的两端．得
    AAT=一(A*)AT=一(AA*)T=一(｜A｜I)T，
其中I为3阶单位矩阵，上式两端取行列式，得
    ｜A｜2=(一1)3=｜A｜3，或｜A｜2(1+｜A｜)=0．
因｜A｜≠0，所以｜A｜=一1．
    方法2  从A=一(A*)T两端取行列式，并利用｜A*｜=｜A｜2．得
    ｜A｜=(一1)3｜A*｜=一｜A｜2，或｜A｜(1+｜A｜)=0，
因｜A｜≠0，所以｜A｜=一1．
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考研数学一

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