设A,B为n阶方阵,P,Q为n阶可逆矩阵,下列命题不正确的是( )

admin2017-01-14  35

问题 设A,B为n阶方阵,P,Q为n阶可逆矩阵,下列命题不正确的是(    )

选项 A、若B=AQ,则A的列向量组与B的列向量组等价。
B、若B=PA,则A的行向量组与B的行向量组等价。
C、若B=PAQ,则A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价。
D、若A的行(列)向量组与矩阵B的行(列)向量组等价,则矩阵A与B等价。

答案C

解析 将等式B=AQ中的A、B按列分块,设A=(α1,α2,…,αn),B=(β1,β2,…,βn),则有
1,β2,…,βn)=(α1,α2,…,αn)

表明向量组β1,β2,…,βn可由向量组α1,α2,…,αn线性表示。由于Q可逆,从而有A=BQ-1,即(α1,α2,…,αn)=(β1,β2,…,βn)Q-1,表明向量组α1,α2,…,αn可由向量组β1,β2,…,βn线性表示,因此这两个向量组等价,故选项A的命题正确。
    类似地,对于PA=B,将A与B按行分块可得出A与B的行向量组等价,从而选项B的命题正确。
    下例可表明选项C的命题不正确。
设A=,则P、Q均为可逆矩阵,且

    但B的行(列)向量组与A的行(列)向量组不等价。
    对于选项D,若A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价,则这两个向量组的秩相同,从而矩阵A与B的秩相同,故矩阵A与B等价(两个同型矩阵等价的充分必要条件是秩相等)。
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