2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，α1，α2，α3是n维列向量，且α1≠0，Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3，试证α1，α2，α3线性无关．

设A是n阶矩阵，α1，α2，α3是n维列向量，且α1≠0，Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3，试证α1，α2，α3线性无关．

admin2020-04-30  48
问题 设A是n阶矩阵，α1，α2，α3是n维列向量，且α1≠0，Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3，试证α1，α2，α3线性无关．
选项
答案由Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3，得(A-E)α1=0，(A-E)α2=α1，(A-E)α3=α2． 设数λ1，λ2，λ3，使 λ1α1+λ2α2+λ3α3=0， (1) 用A-E左乘上式两边，得 λ2α1+λ3α2=0． (2) 再用A-E左乘(2)式两边，得 λ3α1=0． 而α1≠0，于是λ3=0．代入(1)、(2)，得 λ2=0，λ1=0， 故α1，α2，α3线性无关．
解析 本题考查向量组线性相关性的概念，是比较典型的证明方法．
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考研数学一

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