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(2018年)过点(1,0,0),(0,1,0),且与曲面z=x2+y2相切的平面为
(2018年)过点(1,0,0),(0,1,0),且与曲面z=x2+y2相切的平面为
admin
2018-07-01
122
问题
(2018年)过点(1,0,0),(0,1,0),且与曲面z=x
2
+y
2
相切的平面为
选项
A、z=0与x+y—z=1.
B、z=0与2x+2y—z=2.
C、x=y与x+y—z=1.
D、x=y与2x+2y一z=2.
答案
B
解析
解1 排除法 选B
显然点(1,0,0)不满足方程x=y,则选项C、D都不正确.
平面x+y一z=1的法线向量为n
1
=(1,1,一1)
曲面z=x
2
+y
2
在点(x,y,z)处的法线向量为n
2
=(2x,2y,一1)
则
代入z=x
2
+y
2
得
但
不满足方程 x+y—z=1
则选项A不正确,故应选B.
解2 直接法 选B
过点(1,0,0),(0,1,0)的直线方程为
即
过该直线的平面族方程为 λ(x+y一1)+z=0
即 λx+λy+z—λ=0
法线向量为 n
1
=(λ,λ,1)
曲面z=x
2
+y
2
在点(x,y,z)处的法线向量为n
2
=(2x,2y,一1)
则
即
将其代入z=x
2
+y
2
及λx+λy+z一λ=0得
解得λ
1
=0,λ
2
=一2,代入λx+λy+z一λ=0得
z=0,2x+2y—z=2.
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考研数学一
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