2. 考研
  3. 设A为3阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q，使得又已知A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ=1，相应的特征向量为α=(1，1，1)T． (I)求正交矩阵Q； (Ⅱ)求二次型xT(A*)-1x的表达式，并确定其正负惯性指数．

设A为3阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q，使得又已知A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ=1，相应的特征向量为α=(1，1，1)T． (I)求正交矩阵Q； (Ⅱ)求二次型xT(A*)-1x的表达式，并确定其正负惯性指数．

admin2017-07-11  95
问题 设A为3阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q，使得又已知A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ=1，相应的特征向量为α=(1，1，1)T．
(I)求正交矩阵Q；
(Ⅱ)求二次型xT(A*)-1x的表达式，并确定其正负惯性指数．
选项
答案(1)由题设条件可知，[*]从而矩阵A的特征值为λ1=λ2=1， λ3=一2，且｜A｜=λ1λ2λ3=一2． 又由A*α=α，知AA*α=Aα，即Aα=｜A｜α=一2α，可见α3=α=(1，1，1)T是A的属于特征值λ3=一2的一个特征向量． 设λ1=λ2=1的特征向量为x=(x1，x2，x3)T，则α3Tx=0，即x1+x2+x3=0．求得基础解系α1=(一1，1，0)T，α2=(一1，0，1)T，即为特征值λ1=λ2=1所对应的两个线性无关的特征向量． 先将α1，α2正交化，得β1=α1=(一1，1，0)T， [*] 再将β1，β2，α3单位化，得 [*] [*] 则Q即为所求的正交矩阵，即有QTAQ [*] (Ⅱ)因[*]而｜A｜=一2，故要求得矩阵A即可，这可由A的特征值、特征向量求得.
解析
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考研数学三

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