设A为3阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q，使得又已知A的伴随矩阵A有一个特征值为λ=1，相应的特征向量为α=(1，1，1)T． (I)求正交矩阵Q； (Ⅱ)求二次型xT(A)-1x的表达式，并确定其正负惯性指数．

admin2017-07-11 105

问题设A为3阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q，使得

又已知A的伴随矩阵A^*有一个特征值为λ=1，相应的特征向量为α=(1，1，1)^T．
(I)求正交矩阵Q；
(Ⅱ)求二次型x^T(A^*)^-1x的表达式，并确定其正负惯性指数．

选项

答案(1)由题设条件可知，[*]从而矩阵A的特征值为λ₁=λ₂=1， λ₃=一2，且｜A｜=λ₁λ₂λ₃=一2．又由A^*α=α，知AA^*α=Aα，即Aα=｜A｜α=一2α，可见α₃=α=(1，1，1)^T是A的属于特征值λ₃=一2的一个特征向量．设λ₁=λ₂=1的特征向量为x=(x₁，x₂，x₃)^T，则α₃^Tx=0，即x₁+x₂+x₃=0．求得基础解系α₁=(一1，1，0)^T，α₂=(一1，0，1)^T，即为特征值λ₁=λ₂=1所对应的两个线性无关的特征向量．先将α₁，α₂正交化，得β₁=α₁=(一1，1，0)^T， [*] 再将β₁，β₂，α₃单位化，得 [*] [*] 则Q即为所求的正交矩阵，即有Q^TAQ [*] (Ⅱ)因[*]而｜A｜=一2，故要求得矩阵A即可，这可由A的特征值、特征向量求得.

解析

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考研数学三

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设A为3阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q，使得又已知A的伴随矩阵A有一个特征值为λ=1，相应的特征向量为α=(1，1，1)T． (I)求正交矩阵Q； (Ⅱ)求二次型xT(A)-1x的表达式，并确定其正负惯性指数．

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