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  3. 设向量组α1，α2，α3，线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则必有( )

设向量组α1，α2，α3，线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则必有( )

admin2019-01-14  28
问题 设向量组α1，α2，α3，线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则必有(    )
选项 A、α1，α2，β1线性无关．
B、α1，α2，β2线性无关．
C、α2，α3，β1，β2线性相关．
D、α1，α2，α3，β1＋β2线性相关．
答案B
解析 由于α1，α2，α3线性无关，β2不能由α1，α2，α3线性表示知，α1，α2，α3，β2线性无关，从而部分组α1，α2，β2线性无关，故B为正确答案．下面证明其他选项的不正确性．
    取α1＝(1，0，0，0)T，α2＝(0，1，0，0)T，α3＝(0，0，1，0)T，β2＝(0，0，0，1)T，β1＝α1知选项A与C错误．
    对于选项D，由于α1，α2，α3线性无关，若α1，α2，α3，β1＋β2线性相关，则β1＋β2可由α1，α2，α3线性表示，而β1可由α1，α2，α3线性表示，从而β2可由α1，α2，α3线性表示，与假设矛盾，从而D错误．
    所以应选B．
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