设A为n阶实对称矩阵,且A2=A,r(A)=r(0<r<n),则行列式|A-2E|=________.

admin2022-05-20  42

问题 设A为n阶实对称矩阵,且A2=A,r(A)=r(0<r<n),则行列式|A-2E|=________.

选项

答案(-1)n2n-1

解析 设Αα=λα(α≠0),则λ为Α的任一特征值,α为其对应的特征向量.
    由Α2=Α,有(Α2-Α)α=0,即(λ2-λ)α=0,故Α的特征值为0或1.
    又由于Α是实对称矩阵,故存在可逆矩阵Ρ,使Ρ-1ΑΡ=Λ,且r(A)=r(Λ)=r,
所以1是Α的r重特征值,0是Α的n-r重特征值.故
∣Α-2Ε∣=∣ΡΛΡ-1-2Ε∣=∣Ρ(Α-2Ε)Ρ-1
          =∣Ρ∣∣Λ-2Ε∣∣Ρ-1
          =∣Α-2Ε∣=(-1)n2n-1
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