2. 考研
  3. 设A为n阶实对称矩阵，且A2=A，r(A)=r(0＜r＜n)，则行列式｜A-2E｜=________．

设A为n阶实对称矩阵，且A2=A，r(A)=r(0＜r＜n)，则行列式｜A-2E｜=________．

admin2022-05-20  75
问题 设A为n阶实对称矩阵，且A2=A，r(A)=r(0＜r＜n)，则行列式｜A-2E｜=________．
选项
答案(-1)n2n-1
解析 设Αα=λα(α≠0)，则λ为Α的任一特征值，α为其对应的特征向量．
    由Α2=Α，有(Α2-Α)α=0，即(λ2-λ)α=0，故Α的特征值为0或1．
    又由于Α是实对称矩阵，故存在可逆矩阵Ρ，使Ρ-1ΑΡ=Λ，且r(A)=r(Λ)=r，
所以1是Α的r重特征值，0是Α的n-r重特征值．故
∣Α-2Ε∣=∣ΡΛΡ-1-2Ε∣=∣Ρ(Α-2Ε)Ρ-1∣
          =∣Ρ∣∣Λ-2Ε∣∣Ρ-1∣
          =∣Α-2Ε∣=(-1)n2n-1．
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考研数学三

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