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设A为n阶实对称矩阵,且A2=A,r(A)=r(0<r<n),则行列式|A-2E|=________.
设A为n阶实对称矩阵,且A2=A,r(A)=r(0<r<n),则行列式|A-2E|=________.
admin
2022-05-20
42
问题
设A为n阶实对称矩阵,且A
2
=A,r(A)=r(0<r<n),则行列式|A-2E|=________.
选项
答案
(-1)
n
2
n-1
解析
设Αα=λα(α≠0),则λ为Α的任一特征值,α为其对应的特征向量.
由Α
2
=Α,有(Α
2
-Α)α=0,即(λ
2
-λ)α=0,故Α的特征值为0或1.
又由于Α是实对称矩阵,故存在可逆矩阵Ρ,使Ρ
-1
ΑΡ=Λ,且r(A)=r(Λ)=r,
所以1是Α的r重特征值,0是Α的n-r重特征值.故
∣Α-2Ε∣=∣ΡΛΡ
-1
-2Ε∣=∣Ρ(Α-2Ε)Ρ
-1
∣
=∣Ρ∣∣Λ-2Ε∣∣Ρ
-1
∣
=∣Α-2Ε∣=(-1)
n
2
n-1
.
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考研数学三
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