首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
(1998年试题,八)设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在xo∈(0,1),使得在区间[0,x]上以f(xo)为高的矩形面积,等于在区间[xo,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积.(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导
(1998年试题,八)设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在xo∈(0,1),使得在区间[0,x]上以f(xo)为高的矩形面积,等于在区间[xo,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积.(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导
admin
2019-03-21
84
问题
(1998年试题,八)设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在x
o
∈(0,1),使得在区间[0,x]上以f(x
o
)为高的矩形面积,等于在区间[x
o
,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积.(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且
,证明(1)中的x
o
是唯一的.
选项
答案
根据题意,若存在满足条件的x
o
∈(0,1),则有[*]为证明此式,引入辅助函数F(x),使得[*]不难发现[*]且F(0)=F(1)=0,并且f(x)在[0,1]上可导,则由罗尔定理知,存在x
0
∈(0,1)使得f
’
(x
0
)=0,即[*]因此x
0
的存在性得证.下面证明在题设(2)的条件下,(1)中x
0
的唯一性.事实上,只要证明f
’
(x)在[0,1]上是严格单调的即可,由(2)中已知条件f
’
(x)>[*],由于[f
’
(x)]
’
=f(x)+xf
’
(x)十f(x)=2f(x)+xf
’
(x)>0,因而f
’
(0,1)在[0,1]严格单调递增,因此(1)中的x
0
的唯一性也得证.评注关于(1)中x
0
的存在性的证明,也可采用以下方法:若存在x
1
[*]使得f(x)=0,[*],则任取x
0
∈(x
1
,1),有x
0
f(x
0
)=0=[*]若上述x
1
不存在,任取[*]由于f(x)在[c,1]上连续,由最值定理,存在x
2
∈[c,1],使得f(x
2
)>0为f(x)在[c,1]上的最大值.在区间[0,x
2
]上作辅助函数[*]则φ(x)连续,且φ(0)>0.又[*]φ(x
2
)[*]一x
2
f(x
2
)≤(1—2x
2
)f(x
2
)<0因而由闭区间上连续函数的零点定理,存在x
0
∈(0,x
2
)c(0,1),使φ(x
0
)=0,即[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/MFV4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
求曲线r=a(1+cosθ)的曲率.
求z=2x+y在区域D:x2+≤1上的最大值与最小值.
设f(x)=,(Ⅰ)若f(x)处处连续,求a,b的值;(Ⅱ)若a,b不是(Ⅰ)中求出的值时f(x)有何间断点,并指出它的类型.
积分∫aa+2πcosxln(2+cosx)dx的值
设曲线y=y(x)上点(x,y)处的切线垂直于此点与原点的连线,求曲线y=y(x)的方程.
n为自然数,证明:
计算n阶行列式
曲线y2=2χ在任意点处的曲率为_______.
[*]本题先对y积分较困难,而先对x积分可以应用凑微分法,因此先交换积分次序得求解上述积分得
(2002年试题,九)设0
随机试题
平顺性、操纵稳定性感觉评价,可以不检查悬挂系统。()
学而不思则罔,________。
血细胞比容是指血细胞
患者,女性,32岁,结婚3年,夫妻生活正常,未孕。现停经50天,因突然右下腹剧烈疼痛伴有阴道大出血半天,急诊入院。查体:血压80/60mmHg,白细胞总数8×109/L,中性粒细胞0.7。盆腔检查:阴道内有少许暗红色血,宫颈抬举痛明显,阴道后穹隆饱满,子宫
实业投资是依据项目投资可行性分析进行决策,投资可行性分析包括( )。Ⅰ.经济分析Ⅱ.技术分析Ⅲ.投资人分析Ⅳ.社会收益分析
在风景名胜区内禁止进行下列()活动。
教育学作为一门独立的学科萌芽于夸美纽斯的《_____》。
有两个关系R、S如下:由关系R通过运算得到关系S,则所使用的运算为()。
A、Alcohol.B、Electricity.C、Syntheticfuel.D、Solarenergy.B
SevenWaystoSavetheWorldA)Forgettheoldideathatconservingenergyisaformofself-denial—ridingbicycles,dimmingthe
最新回复
(
0
)