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(1998年试题,八)设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在xo∈(0,1),使得在区间[0,x]上以f(xo)为高的矩形面积,等于在区间[xo,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积.(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导
(1998年试题,八)设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在xo∈(0,1),使得在区间[0,x]上以f(xo)为高的矩形面积,等于在区间[xo,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积.(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导
admin
2019-03-21
72
问题
(1998年试题,八)设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在x
o
∈(0,1),使得在区间[0,x]上以f(x
o
)为高的矩形面积,等于在区间[x
o
,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积.(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且
,证明(1)中的x
o
是唯一的.
选项
答案
根据题意,若存在满足条件的x
o
∈(0,1),则有[*]为证明此式,引入辅助函数F(x),使得[*]不难发现[*]且F(0)=F(1)=0,并且f(x)在[0,1]上可导,则由罗尔定理知,存在x
0
∈(0,1)使得f
’
(x
0
)=0,即[*]因此x
0
的存在性得证.下面证明在题设(2)的条件下,(1)中x
0
的唯一性.事实上,只要证明f
’
(x)在[0,1]上是严格单调的即可,由(2)中已知条件f
’
(x)>[*],由于[f
’
(x)]
’
=f(x)+xf
’
(x)十f(x)=2f(x)+xf
’
(x)>0,因而f
’
(0,1)在[0,1]严格单调递增,因此(1)中的x
0
的唯一性也得证.评注关于(1)中x
0
的存在性的证明,也可采用以下方法:若存在x
1
[*]使得f(x)=0,[*],则任取x
0
∈(x
1
,1),有x
0
f(x
0
)=0=[*]若上述x
1
不存在,任取[*]由于f(x)在[c,1]上连续,由最值定理,存在x
2
∈[c,1],使得f(x
2
)>0为f(x)在[c,1]上的最大值.在区间[0,x
2
]上作辅助函数[*]则φ(x)连续,且φ(0)>0.又[*]φ(x
2
)[*]一x
2
f(x
2
)≤(1—2x
2
)f(x
2
)<0因而由闭区间上连续函数的零点定理,存在x
0
∈(0,x
2
)c(0,1),使φ(x
0
)=0,即[*]
解析
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0
考研数学二
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