首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
(1998年试题,八)设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在xo∈(0,1),使得在区间[0,x]上以f(xo)为高的矩形面积,等于在区间[xo,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积.(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导
(1998年试题,八)设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在xo∈(0,1),使得在区间[0,x]上以f(xo)为高的矩形面积,等于在区间[xo,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积.(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导
admin
2019-03-21
105
问题
(1998年试题,八)设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在x
o
∈(0,1),使得在区间[0,x]上以f(x
o
)为高的矩形面积,等于在区间[x
o
,1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积.(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且
,证明(1)中的x
o
是唯一的.
选项
答案
根据题意,若存在满足条件的x
o
∈(0,1),则有[*]为证明此式,引入辅助函数F(x),使得[*]不难发现[*]且F(0)=F(1)=0,并且f(x)在[0,1]上可导,则由罗尔定理知,存在x
0
∈(0,1)使得f
’
(x
0
)=0,即[*]因此x
0
的存在性得证.下面证明在题设(2)的条件下,(1)中x
0
的唯一性.事实上,只要证明f
’
(x)在[0,1]上是严格单调的即可,由(2)中已知条件f
’
(x)>[*],由于[f
’
(x)]
’
=f(x)+xf
’
(x)十f(x)=2f(x)+xf
’
(x)>0,因而f
’
(0,1)在[0,1]严格单调递增,因此(1)中的x
0
的唯一性也得证.评注关于(1)中x
0
的存在性的证明,也可采用以下方法:若存在x
1
[*]使得f(x)=0,[*],则任取x
0
∈(x
1
,1),有x
0
f(x
0
)=0=[*]若上述x
1
不存在,任取[*]由于f(x)在[c,1]上连续,由最值定理,存在x
2
∈[c,1],使得f(x
2
)>0为f(x)在[c,1]上的最大值.在区间[0,x
2
]上作辅助函数[*]则φ(x)连续,且φ(0)>0.又[*]φ(x
2
)[*]一x
2
f(x
2
)≤(1—2x
2
)f(x
2
)<0因而由闭区间上连续函数的零点定理,存在x
0
∈(0,x
2
)c(0,1),使φ(x
0
)=0,即[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/MFV4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
计算,其中D:1≤x2+y2≤9,
设z=f(x,y)满足≠0,由z=f(x,y)可解出y=y(z,x).求:(Ⅰ);(Ⅱ)y=y(z,x).
设x=x(y,z),y=y(z,x),z=z(x,y)都是方程F(x,y,z)=0所确定的隐函数,并且F(x,y,z)满足隐函数存在定理的条件,则=________.
设函数f(x)在[0,π]上连续,且∫0πf(x)sinxdx=0,∫0πf(x)cosxdx=0.证明:在(0,π)内f(x)至少有两个零点.
设f(x)与g(x)在[a,b]上连续,且同为单调不减(或同为单调不增)函数,证明:(b-a)∫abf(x)g(x)dx≥∫abf(x)dx∫abg(x)dx.(*)
设A与B分别是m,n阶矩阵,证明
设A是m阶矩阵,B是n阶矩阵,且|A|=a,|B|=b,若C=,则|C|=
已知ξ1=(-3,2,0)T,ξ2=(-1,0,-2)T是方程组的两个解,则此方程组的通解是________.
求极限:.
(2007年试题,一)设函数f(x,y)连续,则二次积分等于().
随机试题
更换室内消火栓时,若消火栓附近设置有检修蝶阀,关闭该蝶阀即可。()
预防及治疗支气管哮喘的最有效药物
A.十日内B.十五日内C.六十日内D.三个月内E.六个月内《中华人民共和国行政诉讼法》规定
安装泡沫液储罐时,要考虑为日后操作、更换和维修泡沫液储罐以及为罐装泡沫液提供便利条件,泡沫液储罐周围要留有满足检修需要的通道,其宽度不能小于0.7m,且操作面不能小于()m;当泡沫液储罐上的控制阀距地面高度大于1.8m时,需要在操作面处
请问下列哪项动机属于社会性动机?()
下列哪种刑罚既可以单独适用,也可附加适用?()
1/6,1/15,1/35,1/77,()。
进行会议筹备情况的检查,首先应检查()情况。
设f(χ)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且f′(χ)≠0,证明:存在ξ,η,ζ∈(1,2),使得
下列软件中,属于应用软件的是()。
最新回复
(
0
)