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  3. 设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B。 (Ⅰ)证明B可逆； (Ⅱ)求AB-1。

设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B。 (Ⅰ)证明B可逆； (Ⅱ)求AB-1。

admin2017-03-15  37
问题 设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B。
(Ⅰ)证明B可逆；
(Ⅱ)求AB-1。
选项
答案(Ⅰ)设E(i，j)是由n阶单位矩阵的第i行和第j行对换后得到的初等矩阵，则有B=E(i，j)A，因此有 ｜B｜=｜E(i，j)｜｜A｜=-｜A｜≠0， 所以矩阵B可逆。 (Ⅱ)AB-1=A[E(i，j)A]-1=AA-1E-1(i，j)=E-1(i，j)=E(i，j)。
解析
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考研数学一

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