2. 考研
  3. 设f(x)在区间[a，b]上具有二阶导数，且f(a)=f(b) =0，f’(a)．f’(b)＞0．试证明：存在ξ∈(a，b)和η∈(a，b)，使f(ξ)=0及f"(η)=0．

设f(x)在区间[a，b]上具有二阶导数，且f(a)=f(b) =0，f’(a)．f’(b)＞0．试证明：存在ξ∈(a，b)和η∈(a，b)，使f(ξ)=0及f"(η)=0．

admin2019-08-01  53
问题 设f(x)在区间[a，b]上具有二阶导数，且f(a)=f(b) =0，f’(a)．f’(b)＞0．试证明：存在ξ∈(a，b)和η∈(a，b)，使f(ξ)=0及f"(η)=0．
选项
答案不妨设f(a)＞0，f’(b)＞0 [*] 故存在x1∈(a，a+δ1)和x2∈(b一δ2，b)，使f(x1)＞0，f(x2)＜0，其中δ1和δ2是充分小的正数．显然x1＜x2在[x1，x2]上应用介值定理得，存在ξ∈(x1，x2)使，(ξ)=0．以下同证1． 若f’(x0)＞0，则存在δ＞0．当x∈(x0一δ，x0)时f(x)＜f(x0)．当x∈(x0，x0+δ)时，f(x)＞f(x0)． 但因特别注意，由f’(x0)＞0得不到存在x0某邻域(x0 一δ，x0+δ)，在此邻域内f(x)单调增．
解析
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考研数学二

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