2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)内f(x)＞0且xf’(z)=f(x)+ax2，又由曲线y=f(x)与直线x=1，y=0围成平面图形的面积为2，求函数y=f(x)，问a为何值，此图形绕x轴旋转而成的旋转体体积最小?

设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)内f(x)＞0且xf’(z)=f(x)+ax2，又由曲线y=f(x)与直线x=1，y=0围成平面图形的面积为2，求函数y=f(x)，问a为何值，此图形绕x轴旋转而成的旋转体体积最小?

admin2018-06-27  104
问题 设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)内f(x)＞0且xf’(z)=f(x)+ax2，又由曲线y=f(x)与直线x=1，y=0围成平面图形的面积为2，求函数y=f(x)，问a为何值，此图形绕x轴旋转而成的旋转体体积最小?
选项
答案(Ⅰ)首先由xf’(x)=f(x)+[*]ax2，f(x)＞0(x∈(0，1))求出f(x)．这是求解一阶线性方程[*]．两边乘积分因子[*](取其中一个)，得[*]ax2+Cx，x∈[0，1]，其中C为任意常数使得f(x)＞0(x∈(0，1))． (Ⅱ)确定C与a的关系使得由y=f(x)与x=1，y=0围成平面图形的面积为2． 由已知条件得2=∫01([*]ax2+Cx)dx=[*]，则C=4-a．因此，f(x)=[*]ax2+(4-a)x，其中a为任意常数使得(x)＞0(x∈(0，1))． [*]，有f(0)=0，f(1)=[*]a+4-a=4+[*]．又f’(x)=3ax+4-a，由此易知-8≤a≤4时f(x)＞0(x∈(0，1))． (Ⅲ)求旋转体的体积． V(a)=π∫01f2(x)dx=π∫01[ [*]ax2+(4-a)x]2dx =π∫01[([*]x4+x2-3x3)a2+(12x3-8x2)a+16x2]dx [*] (Ⅳ)求V(a)的最小值点．由于 [*] 则当a=-5时f(x)＞0(x∈(0，1))，旋转体体积取最小值．
解析
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考研数学二

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