解下列微分方程： (Ⅰ)y’’-7y’+12y=x满足初始条件y(0)=的特解； (Ⅱ)y’’+a2y=8cosbx的通解，其中a＞0，b＜0为常数； (Ⅲ)y’’’+y’’+y’+y=0的通解．

admin2018-06-27 30

问题解下列微分方程：
(Ⅰ)y’’-7y’+12y=x满足初始条件y(0)=

的特解；
(Ⅱ)y’’+a²y=8cosbx的通解，其中a＞0，b＜0为常数；
(Ⅲ)y’’’+y’’+y’+y=0的通解．

选项

答案(Ⅰ)相应齐次方程的特征方程为λ²-7λ+12=0，它有两个互异的实根：λ₁=3，λ₂=4，所以，其通解为[*]=C₁e^3x+C₂e^4x．由于0不是特征根，所以非齐次方程的特解应具有形式y^*(x)=Ax+B．代入方程，可得A=[*]．所以，原方程的通解为y(x)=[*]+C₁e^3x+C₂e^4x．代入初始条件，则得 [*] 因此所求的特解为y(x)=[*](e^4x-e^3x)． (Ⅱ)由于相应齐次方程的特征根为±ai，所以其通解为[*]=C₁cosax+C₂sinax．求原非齐次方程的特解，需分两种情况讨论： ①当a≠b时，特解的形式应为Acosbx+Bsinbx，将其代入原方程，则得 [*] 所以，通解为y(x)=[*]cosbx+C₁cosax+C₂sinax，其中C₁，C₂为任意常数． ②当a=b时，特解的形式应为Axcosax+Bxsinax，代入原方程，则得 A=0，B=[*] 原方程的通解为y(x)=[*]xsinax+C₁cosax+C₂sinax，其中C₁，C₂为任意常数． (Ⅲ)这是一个三阶常系数线性齐次方程，其相应的特征方程为λ³+λ²+λ+1=0，分解得(λ+1)(λ²+1)=0，其特征根为λ₁=-1，λ_2，3=±i，所以方程的通解为 y(x)=C₁e^-x+C₂cosx+C₃sinx，其中C₁，C₂，C₃为任意常数．

解析

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考研数学二

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解下列微分方程： (Ⅰ)y’’-7y’+12y=x满足初始条件y(0)=的特解； (Ⅱ)y’’+a2y=8cosbx的通解，其中a＞0，b＜0为常数； (Ⅲ)y’’’+y’’+y’+y=0的通解．

考研数学二

设3阶矩阵A满足Aαi＝iαi(i＝1，2，3)，其中列向量α1＝(1，2，2)T，α2＝(2，－2，1)T，α3＝(－2，－1，2)T，试求矩阵A．

设f(x)是奇函数，除x＝0外处处连续，x＝0是其第一类间断点，则∫0xf(t)dt是

设u=M(x，y)在全平面上有连续偏导数，若(x2+y2≥R2>0)，求证

已知累次积分其中a>0为常数，则，可写成

设f(x)在(一∞，+∞)是连续函数，求y’’+y’=f(x)的通解．

已知向量β=(α1,α2,α3,α4)T可以由α1=(1，0，0，1)T，α2=(1，1，0，0)T，α3=(0，2，一1，一3)T，α4=(0，0，3，3)T线性表出．把向量β分别用α1,α2,α3,α4和它的极大线性无关组线性表出．

已知向量β=(α1,α2,α3,α4)T可以由α1=(1，0，0，1)T，α2=(1，1，0，0)T，α3=(0，2，一1，一3)T，α4=(0，0，3，3)T线性表出．求向量组α1,α2,α3,α4的一个极大线性无关组，并把其他向量用该极大线性无关组

已知向量β=(α1,α2,α3,α4)T可以由α1=(1，0，0，1)T，α2=(1，1，0，0)T，α3=(0，2，一1，一3)T，α4=(0，0，3，3)T线性表出．求α1,α2,α3,α4应满足的条件；

已知4元齐次线性方程组的解全是4元方程(ii)x1+x2+x3=0的解，求a的值；

设矩阵，则ATB-1＝_______．

胃癌淋巴结转移的常见部位是

用哪种方法可区分挥发油与脂肪油（）

酶原激活过程实际就是酶活性中心形成或暴露的过程。()

如果飞行员严格遵守操作规程，并且飞机在起飞前经过严格的例行技术检验，那么飞机就不会失事，除非出现如劫机这样的特殊意外。这架波音747在金沙岛上空失事。如果上述断定是真的，那么以下哪项也一定是真的?

2012年10月10日，温家宝同志主持召开国务院常务会议，会议审议通过了《缺陷汽车产品召回管理条例(草案)》。该《条例(草案)》的通过()。

以下说法正确的是：

下列犯罪分子中，应当认定为从犯的是()

ThenumberofUS【B1】overtheageof65wholivealoneis【B2】torise21percentoverthenexttenyears,tomoreth

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设u=M(x，y)在全平面上有连续偏导数，若(x2+y2≥R2>0)，求证

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已知4元齐次线性方程组的解全是4元方程(ii)x1+x2+x3=0的解，求a的值；

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2012年10月10日，温家宝同志主持召开国务院常务会议，会议审议通过了《缺陷汽车产品召回管理条例(草案)》。该《条例(草案)》的通过()。

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下列犯罪分子中，应当认定为从犯的是()

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