设函数f(x)连续,则下列函数中,必为偶函数的是

admin2014-01-26  30

问题 设函数f(x)连续,则下列函数中,必为偶函数的是

选项 A、∫0xf(t2)dt.   
B、∫0xf2(t)dt.
C、∫0xt[f(t)-f(-t)]dt.   
D、∫0xt[-f(t)+f(-t)]dt.

答案D

解析 [分析]  利用奇偶函数的定义和定积分的性质即得.
[详解]  设F(x)=∫0xt[f(f)+f(-t)]dt,则
    F(-x)=∫0-xt[f(t)+f(-t)]dt,
令u=-t,则当t=0时,u=0,当t=-x时,u=x,于是.
    F(-x)=∫0x(-u)[f(-u)+f(u)]d(-u)=∫0xu[f(-u)+f(u)]du
    =∫0xt[f(t)+f(-t)]dt=F(x).
即F(x)为偶函数,故应选(D).
    [评注1]类似可得∫0xt[f(f)-f(-t)]df和0xf2(t)df为奇函数,而0xf(t2)df的奇偶性不定.
    [评注2]  对于选择题,也可取f(x)=1,f(x)=x,用排除法找到答案.
    [评注3]  |f(t)dt的奇偶性与f(x)的奇偶性的关系是:
    若f(x)为奇函数,则∫0xf(t)dt为偶函数;若f(x)为偶函数,则∫0xf(t)dt为奇函数.
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