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设函数f(x)连续,则下列函数中,必为偶函数的是
设函数f(x)连续,则下列函数中,必为偶函数的是
admin
2014-01-26
27
问题
设函数f(x)连续,则下列函数中,必为偶函数的是
选项
A、∫
0
x
f(t
2
)dt.
B、∫
0
x
f
2
(t)dt.
C、∫
0
x
t[f(t)-f(-t)]dt.
D、∫
0
x
t[-f(t)+f(-t)]dt.
答案
D
解析
[分析] 利用奇偶函数的定义和定积分的性质即得.
[详解] 设F(x)=∫
0
x
t[f(f)+f(-t)]dt,则
F(-x)=∫
0
-x
t[f(t)+f(-t)]dt,
令u=-t,则当t=0时,u=0,当t=-x时,u=x,于是.
F(-x)=∫
0
x
(-u)[f(-u)+f(u)]d(-u)=∫
0
x
u[f(-u)+f(u)]du
=∫
0
x
t[f(t)+f(-t)]dt=F(x).
即F(x)为偶函数,故应选(D).
[评注1]类似可得∫
0
x
t[f(f)-f(-t)]df和
0
x
f
2
(t)df为奇函数,而
0
x
f(t
2
)df的奇偶性不定.
[评注2] 对于选择题,也可取f(x)=1,f(x)=x,用排除法找到答案.
[评注3] |f(t)dt的奇偶性与f(x)的奇偶性的关系是:
若f(x)为奇函数,则∫
0
x
f(t)dt为偶函数;若f(x)为偶函数,则∫
0
x
f(t)dt为奇函数.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/MQ34777K
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考研数学二
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