如图，C1和C2分别是y=1／2(1+ex)和y=ex的图形，过点(0，1)的曲线C3是一单调增函数的图形。过C2上任一点M(x，y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly。记C1，C2与lx所围图形的面积为S1(x)；C2，C3与ly所围图形的面积为S2

admin2018-04-14 102

问题如图，C₁和C₂分别是y=1／2(1+e^x)和y=e^x的图形，过点(0，1)的曲线C₃是一单调增函数的图形。过C₂上任一点M(x，y)分别作垂直于x轴和y轴的直线l_x和l_y。记C₁，C₂与l_x所围图形的面积为S₁(x)；C₂，C₃与l_y所围图形的面积为S₂(y)。如果总有S₁(x)=S₂(y)，求曲线C₃的方程x=φ(y)。

选项

答案如图，有S₁(x)=∫₀^x[e^t－[*](1+e^t]dt=1／2(e^x－x－1)， S₂(y)=∫₁^y[lnt－φ(t)]dt，由题设，得 1／2(e^x－x－1)=∫₁^y[lnt－φ(t)]dt，而y=e^x，于是 1／2(y－lny－1)=∫₁^y[lnt－φ(t)]dt，两边对y求导得 1／2(1－[*])=lny－φ(y)，故所求的函数关系为 x=φ(y)=lny－[*]

解析

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考研数学二

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如图，C1和C2分别是y=1／2(1+ex)和y=ex的图形，过点(0，1)的曲线C3是一单调增函数的图形。过C2上任一点M(x，y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly。记C1，C2与lx所围图形的面积为S1(x)；C2，C3与ly所围图形的面积为S2

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