设A为三阶方阵,α为三维列向量,已知向量组α,Aα,A2α线性无关,且A3α=3Aα一2A2α.证明: 矩阵B=(α,Aα,A4α)可逆;

admin2014-02-05  66

问题 设A为三阶方阵,α为三维列向量,已知向量组α,Aα,A2α线性无关,且A3α=3Aα一2A2α.证明:
矩阵B=(α,Aα,A4α)可逆;

选项

答案由于A3α=3Aα一2A2α,故A4α=3A2α一2A2α=3A2α一2(3Aα一2A2α)=7A2α一6Aα.若k1α+k2Aα+k3A4α=0,即k1α+k2Aα+k3(7A2α一6Aα)=0,亦即k1α+(k2—6k3)Aα+7k3A2α=0,因为α,Aα,A2α线性无关,故[*]所以,α,Aα,A4α线性无关,因而矩阵B可逆.

解析
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