2. 考研
  3. 设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα一2A2α．证明： 矩阵B=(α，Aα，A4α)可逆；

设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα一2A2α．证明： 矩阵B=(α，Aα，A4α)可逆；

admin2014-02-05  115
问题 设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα一2A2α．证明：
矩阵B=(α，Aα，A4α)可逆；
选项
答案由于A3α=3Aα一2A2α，故A4α=3A2α一2A2α=3A2α一2(3Aα一2A2α)=7A2α一6Aα．若k1α+k2Aα+k3A4α=0，即k1α+k2Aα+k3(7A2α一6Aα)=0，亦即k1α+(k2—6k3)Aα+7k3A2α=0，因为α，Aα，A2α线性无关，故[*]所以，α，Aα，A4α线性无关，因而矩阵B可逆．
解析
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考研数学二

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