设A，B是n阶可逆阵，且A～B，则①A-1～B-1．②AT～BT．③A～B．④AB～BA．其中正确的项数是( )

admin2014-04-16 42

问题设A，B是n阶可逆阵，且A～B，则①A^-1～B^-1．②A^T～B^T．③A^*～B^*．④AB～BA．其中正确的项数是( )

选项 A、1．
B、2
C、3
D、4

答案D

解析 A～B，有｜A｜=｜B｜，且存在可逆阵P，使P^-1AP=B，(*)(*)式两边求逆得P^-1A^-1P=B^-1，(**)从而A^-1～B^-1(①成立)．(*)式两边转置，得p^TA^T(P^-1)^T=B^T，记(P^-1)^T=Q，p^T=Q^-1，即Q^-1A^TQ=B^T，从而A^T～B^T(②成立)．(**)式两边乘｜A｜，P^-1｜A｜A^-1P=P^-1A^*P=｜B｜B^-1=B^*，从而A^*～B^*(③成立)．因A可逆，故BA=EBA=A^-1ABA=A^-1(AB)A，即AB~BA(④成立)．故应选D．

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