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[2003年] 设其导函数在x=0处连续,则λ的取值范围是________.
[2003年] 设其导函数在x=0处连续,则λ的取值范围是________.
admin
2021-01-25
61
问题
[2003年] 设
其导函数在x=0处连续,则λ的取值范围是________.
选项
答案
λ>2
解析
点x=0为f(x)的分段点,由导数定义知
因而当λ-1>0即λ>1时,极限
存在(有界变量与无穷小量乘积为无穷小量),f(x)在x=0处可导,且
又当x≠0时,f(x)可导,其导数为
f’(x)=[x
λ
cos(1/x)]’=λx
λ-1
cos(1/x)-x
λ
sin(1/x)·(-1/x
2
)
=λx
λ-1
cos(1/x)+x
λ-2
sin(1/x),
综上所述,当λ>1时,
显然λ-2>0时,x
λ-2
及x
λ-1
均为无穷小量(x→0),极限
才存在,且
故当λ>2时,f(x)在x=0处连续;当λ≤2时,
不存在,f’(x)在x=0处不连续.
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考研数学三
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