[2003年] 设其导函数在x=0处连续,则λ的取值范围是________.

admin2021-01-25  36

问题 [2003年]  设其导函数在x=0处连续,则λ的取值范围是________.

选项

答案λ>2

解析 点x=0为f(x)的分段点,由导数定义知
           
因而当λ-1>0即λ>1时,极限存在(有界变量与无穷小量乘积为无穷小量),f(x)在x=0处可导,且
    又当x≠0时,f(x)可导,其导数为
    f’(x)=[xλcos(1/x)]’=λxλ-1cos(1/x)-xλsin(1/x)·(-1/x2)
         =λxλ-1cos(1/x)+xλ-2sin(1/x),
    综上所述,当λ>1时,
    显然λ-2>0时,xλ-2及xλ-1均为无穷小量(x→0),极限才存在,且
            
故当λ>2时,f(x)在x=0处连续;当λ≤2时,不存在,f’(x)在x=0处不连续.
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