2. 考研
  3. 设A是3阶矩阵，Ax=0有通解k1ξ1+k2ξ2，Aξ3=ξ3，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP=其中P是 ( )

设A是3阶矩阵，Ax=0有通解k1ξ1+k2ξ2，Aξ3=ξ3，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP=其中P是 ( )

admin2018-08-22  51
问题 设A是3阶矩阵，Ax=0有通解k1ξ1+k2ξ2，Aξ3=ξ3，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP=其中P是    (    )
选项 A、[ξ1，ξ2，ξ1+ξ3]
B、[ξ2，ξ3，ξ1]
C、[ξ1+ξ2，一ξ2，2ξ3]
D、[ξ1+ξ2，ξ2一ξ3，ξ3]
答案C
解析 由题意，知ξ1，ξ2是A的对应于特征值λ1=0的线性无关的特征向量，ξ3是A的对应于特征值λ2=1的特征向量，且注意下列概念：
    ①A的同一个特征值对应的特征向量的非零线性组合，如λ=0对应的特征向量是ξ1，ξ2，则k1ξ1+k2ξ2为非零向量时，仍是A的对应于该特征值的特征向量．λ=1对应的特征向量是ξ3，则kξ3仍是λ=1对应的特征向量，k为任意非零常数．
    ②对不同特征值λ1≠λ2，则对应的特征向量的线性组合(如ξ1+ξ3，ξ2一ξ3等)不再是A的特征向量．
    ③P中的特征向量排列次序应与对角阵中λ的排列次序一致．
    由上述三条知应选(C)，因(C)中，ξ1+ξ2，一ξ2仍是对应于特征值λ=0的特征向量，2ξ3仍是对应于特征值λ=1的特征向量，且与对角矩阵中特征值的排列次序一致．故应选(C)．
    (A)中ξ1+ξ3不是特征向量，(B)中ξ3，ξ1对应的特征值的排列次序不一致，(D)中ξ2一ξ3不是特征向量，故都是错误的．
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考研数学二

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