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  3. 已知齐次线性方程组有非零解，且是正定矩阵． 求xTx=1，xTAx的最大值和最小值．

已知齐次线性方程组有非零解，且是正定矩阵． 求xTx=1，xTAx的最大值和最小值．

admin2016-01-11  119
问题 已知齐次线性方程组有非零解，且是正定矩阵．
求xTx=1，xTAx的最大值和最小值．
选项
答案当a=3时，由[*]得A的特征值为1，4，10． 由于a=3时，A为实对称矩阵，故存在正交矩阵P，经正交变换x=Py化二次型xTAx为标准形，从而1=y12+y22+y32≤xTAx=y12+4y22+10y32≤10(y12+y22+y32)=10，故xTAx的最大值为10，最小值为1．
解析 本题考查二次型的综合题．通过方程组有解和A正定确定参数a，将二次型f=xTAx化成标准形．再求‖x‖=1下的极值．
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考研数学二

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