已知齐次线性方程组有非零解，且是正定矩阵．求xTx=1，xTAx的最大值和最小值．

admin2016-01-11 82

问题已知齐次线性方程组

有非零解，且

是正定矩阵．
求x^Tx=1，x^TAx的最大值和最小值．

选项

答案当a=3时，由[*]得A的特征值为1，4，10．由于a=3时，A为实对称矩阵，故存在正交矩阵P，经正交变换x=Py化二次型x^TAx为标准形，从而1=y₁²+y₂²+y₃²≤x^TAx=y₁²+4y₂²+10y₃²≤10(y₁²+y₂²+y₃²)=10，故x^TAx的最大值为10，最小值为1．

解析本题考查二次型的综合题．通过方程组有解和A正定确定参数a，将二次型f=x^TAx化成标准形．再求‖x‖=1下的极值．

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