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已知齐次线性方程组有非零解，且是正定矩阵． 求xTx=1，xTAx的最大值和最小值．
已知齐次线性方程组有非零解，且是正定矩阵． 求xTx=1，xTAx的最大值和最小值．
admin
2016-01-11
75
问题
已知齐次线性方程组
有非零解，且
是正定矩阵．
求x
T
x=1，x
T
Ax的最大值和最小值．
选项
答案
当a=3时，由[*]得A的特征值为1，4，10． 由于a=3时，A为实对称矩阵，故存在正交矩阵P，经正交变换x=Py化二次型x
T
Ax为标准形，从而1=y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
≤x
T
Ax=y
1
2
+4y
2
2
+10y
3
2
≤10(y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
)=10，故x
T
Ax的最大值为10，最小值为1．
解析
本题考查二次型的综合题．通过方程组有解和A正定确定参数a，将二次型f=x
T
Ax化成标准形．再求‖x‖=1下的极值．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/mv34777K
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考研数学二
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