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已知齐次线性方程组有非零解,且是正定矩阵. 求xTx=1,xTAx的最大值和最小值.
已知齐次线性方程组有非零解,且是正定矩阵. 求xTx=1,xTAx的最大值和最小值.
admin
2016-01-11
53
问题
已知齐次线性方程组
有非零解,且
是正定矩阵.
求x
T
x=1,x
T
Ax的最大值和最小值.
选项
答案
当a=3时,由[*]得A的特征值为1,4,10. 由于a=3时,A为实对称矩阵,故存在正交矩阵P,经正交变换x=Py化二次型x
T
Ax为标准形,从而1=y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
≤x
T
Ax=y
1
2
+4y
2
2
+10y
3
2
≤10(y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
)=10,故x
T
Ax的最大值为10,最小值为1.
解析
本题考查二次型的综合题.通过方程组有解和A正定确定参数a,将二次型f=x
T
Ax化成标准形.再求‖x‖=1下的极值.
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