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设X和Y为独立的随机变量,X在区间[0,1]上服从均匀分布,Y的概率密度函数为 求随机变量Z=X+Y的分布函数Fz(z).
设X和Y为独立的随机变量,X在区间[0,1]上服从均匀分布,Y的概率密度函数为 求随机变量Z=X+Y的分布函数Fz(z).
admin
2016-11-03
43
问题
设X和Y为独立的随机变量,X在区间[0,1]上服从均匀分布,Y的概率密度函数为
求随机变量Z=X+Y的分布函数F
z
(z).
选项
答案
依题设可知,X的概率密度函数为 [*] 而 F
Z
(z)=P(Z≤z)=[*]f(x,y)dxdy, 其中区域D为一∞<x+y≤z. 因而为求出F
Z
(z),必须先求出联合概率密度f(x,y).由上述f
Y
(y)与f
X
(x)的表示式易求得 [*] 因f(x,y)取非零值的定义域的边界点为(0,0),(0,1),(1,2),(0,2),相应地,x+y=z的可能取值为0,1,2,3.因而z应分下述情况分别求出分布函数F
z
(z):(1)z≤0;(2)0<z≤1; (3)1<z≤2;(4)2<z≤3;(5)z>3. 于是当z≤0时,f(x,y)=0,则F
Z
(z)=0. 当0<z≤1时,则 [*] 当1<z≤2时(参见下图),则 [*] [*] 当2<z≤3时,则 F
Z
(z)=1一[*](3一z)
3
. 当z>3时,易求得F
Z
(z)=1. 综上得到 [*]
解析
由独立性即可写出(X,Y)的概率密度函数.求X、Y的线性函数的分布函数一般直接按定义求之.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/MTu4777K
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考研数学一
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