设有抛物线Γ：y＝a－bx2(a＞0，b＞0)，试确定常数a、b的值使得 (1)Γ与直线y＝x＋1相切； (2)Γ与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为最大。

admin2015-11-16 39

问题设有抛物线Γ：y＝a－bx²(a＞0，b＞0)，试确定常数a、b的值使得
(1)Γ与直线y＝x＋1相切；
(2)Γ与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为最大。

选项

答案解 Γ与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为 [*] 显然V_y中含两个参数a与b，下求出a与b的关系。因Γ与直线y＝x＋1相切，即相交又相切,设切点为(x₀，y₀)，则在切点处两曲线的函数值相同，且其斜率相等，因而有 [*] 解之得[*]＝4(1－a) 将上述关系代入V_y中，则V_y仅含一个参数a，即 V_y＝2π(a²－a³)。令( V_y)’_a＝0得a＝2／3，因而b＝3／4，而当a＝2／3时，因 [*]＝2π(2－4)＜0，故当a＝2／3，b＝3／4时，Γ与直线y＝x＋1相切，且它们所围图形绕y轴旋转所得旋转体体积最大。

解析

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考研数学一

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设有抛物线Γ：y＝a－bx2(a＞0，b＞0)，试确定常数a、b的值使得 (1)Γ与直线y＝x＋1相切； (2)Γ与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为最大。

考研数学一

设y＝，求y(n)．

求曲线的渐近线．

设L：y=e-x(x≥0)．求由y=e-x、x轴、y轴及x=a(a＞0)所围成平面区域绕x轴旋转一周而得的旋转体的体积V(a)；

设f(x)在[a，b]连续，在(a，b)可导，f(a)=f(b)，且f(x)不恒为常数，求证：在(a，b)内存在一点ξ，使得f’(ξ)＞0．

求不定积分

求函数y＝的单调区间与极值，并求该曲线的渐近线．

设函数f(x)在区间[-1，1]上有三阶连续导数，且f(一1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在(一1，1)内至少存在一点ξ，使得f"’(ξ)=3．

证明：,其中a＞0为常数。

用变量代换x=lnt将方程化为y关于t的方程，并求微分方程的通解。

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