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[2005年] 设D={(x,y)∣x2+y2≤√2,x≥0,y≥0),[1+x2+y2]表示不超过1+x2+y2的最大整数,计算二重积分xy[1+x2+y2]dxdy.
[2005年] 设D={(x,y)∣x2+y2≤√2,x≥0,y≥0),[1+x2+y2]表示不超过1+x2+y2的最大整数,计算二重积分xy[1+x2+y2]dxdy.
admin
2019-05-10
75
问题
[2005年] 设D={(x,y)∣x
2
+y
2
≤√2,x≥0,y≥0),[1+x
2
+y
2
]表示不超过1+x
2
+y
2
的最大整数,计算二重积分
xy[1+x
2
+y
2
]dxdy.
选项
答案
首先去掉取整符号,写出被积函数的具体分区域的表达式,再将积分区域D分成两部分,最后利用极坐标计算. 去掉取整符号将被积函数分块表示: xy[1+x
2
+y
2
]=[*] 相应地,D也分成两块D=D
1
∪D
2
,其中 D
1
={(x,y)∣x
2
+y
2
<1,z≥0,y≥0),D
2
={(x,y)∣1≤x
2
+y
2
≤√2,x≥0,y≥0), 作极坐标变换.因r=[*]=(√2)
1/2
=2
1/4
,有 D
1
={(r,θ)∣0≤θ≤π/2,0≤r≤1),D
2
={(r,θ)∣0≤θ≤π/2,0≤r≤2
1/4
), 则[*]xy[1+x
2
+y
2
]dxdy=[*]xydxdy+[*]2xydxdy =∫
0
π/2
dθ∫
0
1
r
2
cosθsinθ.rdr+2∫
0
π/2
dθ∫
1
2
1/4
r
2
cosθsinθ·rdr =∫
0
π/2
cosθsinθdθ·[*]r
4
∣
0
1
+2∫
0
π/2
cosθsinθdθ·[*].
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/MVV4777K
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考研数学二
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