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  3. [2005年] 设D={(x，y)∣x2+y2≤√2，x≥0，y≥0)，[1+x2+y2]表示不超过1+x2+y2的最大整数，计算二重积分xy[1+x2+y2]dxdy．

[2005年] 设D={(x，y)∣x2+y2≤√2，x≥0，y≥0)，[1+x2+y2]表示不超过1+x2+y2的最大整数，计算二重积分xy[1+x2+y2]dxdy．

admin2019-05-10  63
问题 [2005年]  设D={(x，y)∣x2+y2≤√2，x≥0，y≥0)，[1+x2+y2]表示不超过1+x2+y2的最大整数，计算二重积分xy[1+x2+y2]dxdy．
选项
答案首先去掉取整符号，写出被积函数的具体分区域的表达式，再将积分区域D分成两部分，最后利用极坐标计算． 去掉取整符号将被积函数分块表示： xy[1+x2+y2]=[*] 相应地，D也分成两块D=D1∪D2，其中 D1={(x，y)∣x2+y2＜1，z≥0,y≥0)，D2={(x，y)∣1≤x2+y2≤√2，x≥0，y≥0)， 作极坐标变换．因r=[*]=(√2)1/2=21/4，有 D1={(r，θ)∣0≤θ≤π／2，0≤r≤1)，D2={(r，θ)∣0≤θ≤π／2，0≤r≤21/4)， 则[*]xy[1+x2+y2]dxdy=[*]xydxdy+[*]2xydxdy =∫0π/2dθ∫01r2cosθsinθ．rdr+2∫0π/2dθ∫121/4r2cosθsinθ·rdr =∫0π/2cosθsinθdθ·[*]r4∣01+2∫0π/2cosθsinθdθ·[*].
解析
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考研数学二

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