设A是n阶实对称矩阵．证明： (1)存在实数c，使对一切x∈Rn，有｜xTAx｜≤cxTx． (2)若A正定，则对任意正整数k，An也是对称正定矩阵． (3)必可找到一个数a，使A+aE为对称正定矩阵．

admin2016-04-11 25

问题设A是n阶实对称矩阵．证明：
(1)存在实数c，使对一切x∈Rⁿ，有｜x^TAx｜≤cx^Tx．
(2)若A正定，则对任意正整数k，Aⁿ也是对称正定矩阵．
(3)必可找到一个数a，使A+aE为对称正定矩阵．

选项

答案(1)设A的特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n．令c=max{｜λ₁｜，｜λ₂｜，…，｜λ_n｜}，则存在正交变换x=Py，使x^TAx=[*]=cy^Ty=cx^Tx． (2)设A的特征值为λ₁，…，λ_n，则λ_i＞0(i=1，…，n)，于是，由A^k的特征值为λ₁，…，λ_n，它们全都大于0，可知A^k为正定矩阵。 (3)因为(A+aE)^T=A+aE，所以A+aE对称．又若A的特征值为λ₁，…，λ_n，则A+aE的特征值为λ₁+a，…，λ_n+a．若取a=max{｜λ₁｜+1，…，｜λ_n｜+1}，则λ_i+a≥λ_i+｜λ_i｜+1≥1，所以A+aE正定．

解析

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考研数学一

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设A是n阶实对称矩阵．证明： (1)存在实数c，使对一切x∈Rn，有｜xTAx｜≤cxTx． (2)若A正定，则对任意正整数k，An也是对称正定矩阵． (3)必可找到一个数a，使A+aE为对称正定矩阵．

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设f(x)在（－1,1）内二阶连续可导，且f"(x)≠0,证明：

设有三个线性无关的特征向量，且λ=2为A的二重特征值，求可逆阵P，使得P-1AP为对角矩阵。

设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥1).证明：方程fn(x)=1有唯一的正根xn.

设在点处，函数f(x，y)=x2+(y-1)2(x≠0)在条件x2/a2+y2+b2=1(a＞0，b＜0)下取得最小值，求a，b的值。

设向量β=(b，1，1)T可由α1=(a，0，1)T，α2=(1，a-1，1)T，α3=(1，0，a)T线性表示，且表示方法不唯一，记A=(α1，α2，α3)。求可逆矩阵P，使得P-1AP=A

已知三阶方阵A，B满足关系式E＋B＝AB，的三个特征值分别为3，－3，0，则｜B-1＋2E｜＝_______．

设A＝，为A中aij(i,j＝1，2，3)的代数余子式，二次型的矩阵为B求可逆矩阵P，使得PTAP＝B

设曲线L：(0≤t≤π/2)与l：x2＋y2≤1(x≥0，y≥0)所围区域为D。计算I＝(x2－y2＋1)dxdy

在投掷两枚骰子的试验中，观察两枚骰子出现的点数，写出这一试验的样本空间．记X=两枚骰子出现的点数的和，Y=两枚骰子出现的最大点数．写出随机变量X和Y作为样本空间上的函数的表达式．

设一盒子中有5个球，编号分别为1，2，3，4，5．如果每次等可能地从中任取一球，记录其编号后放回，求3次取球得到的最大编号X的概率分布．如果一次从袋中任取3个球，求这3个球中最大编号y的概率分布．

男性，66岁，突发胸痛6小时未缓解，给予硝酸甘油和t-PA治疗，1天后患者病情稳定，但发现心尖部出现收缩期杂音，未及震颤，应怀疑上述哪种可能性最大风湿性瓣膜病中,最容易和二尖瓣狭窄合并存在的是

阴虚发热型内伤发热，下列哪些最有临床诊断意义

在工程项目建设周期中，工作量最大，投入的人力、物力和财力最多，工程项目管理难度最大的是（）。

人们一方面希望把手机的屏幕做得越大越好，使其兼具平板电脑的功能，另一方面又希望把自己手机变得更小、更薄、更轻，这两个要求，看起来似乎是完全__________的。填入画横线部分最恰当的一项是：

新教师更多关注课堂中发生的细节，专家型教师则多谈论学生对新材料的理解情况，很少谈论课堂管理问题和自己的教学是否成功。这是反映二者在()的差异。

根据我国《劳动合同法》的规定，下列关于劳动合同的表述错误的一项是()。

从1，2，3，……，30这30个数中，取出若干个数，使其中任意两个数的积都不能被4整除。问最多可取几个数?

A.wecanbetheluckywinner.B.Don’tbesilly.C.Maybetodayismyluckyday.A:Hey,didyouhearthat?Thelotteryisupt

设在工程中定义了如下类型：TypestutypeinoAsIntegerstmameAsString20strsexAsString1smarkAsSingle

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