设A是n阶实对称矩阵．证明： (1)存在实数c，使对一切x∈Rn，有｜xTAx｜≤cxTx． (2)若A正定，则对任意正整数k，An也是对称正定矩阵． (3)必可找到一个数a，使A+aE为对称正定矩阵．

admin2016-04-11 95

问题设A是n阶实对称矩阵．证明：
(1)存在实数c，使对一切x∈Rⁿ，有｜x^TAx｜≤cx^Tx．
(2)若A正定，则对任意正整数k，Aⁿ也是对称正定矩阵．
(3)必可找到一个数a，使A+aE为对称正定矩阵．

选项

答案(1)设A的特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n．令c=max{｜λ₁｜，｜λ₂｜，…，｜λ_n｜}，则存在正交变换x=Py，使x^TAx=[*]=cy^Ty=cx^Tx． (2)设A的特征值为λ₁，…，λ_n，则λ_i＞0(i=1，…，n)，于是，由A^k的特征值为λ₁，…，λ_n，它们全都大于0，可知A^k为正定矩阵。 (3)因为(A+aE)^T=A+aE，所以A+aE对称．又若A的特征值为λ₁，…，λ_n，则A+aE的特征值为λ₁+a，…，λ_n+a．若取a=max{｜λ₁｜+1，…，｜λ_n｜+1}，则λ_i+a≥λ_i+｜λ_i｜+1≥1，所以A+aE正定．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/MVw4777K

考研数学一

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设A是n阶实对称矩阵．证明： (1)存在实数c，使对一切x∈Rn，有｜xTAx｜≤cxTx． (2)若A正定，则对任意正整数k，An也是对称正定矩阵． (3)必可找到一个数a，使A+aE为对称正定矩阵．

考研数学一

设f(x)在[a,b]上二阶可导，且f"(x)＞0,取xi∈[a,b](i=1,2,…,n)及ki＞0（i=1,2,…,n)且满足k1+k2+…+kn=1,证明：f(k1x1+k2x2+k3x3+…+knxn)≤k1f(x1)+k2f(x2)+k3f(x

设f(x)=a1ln(1+x)+a2ln(1+2x)+…+anln(1+nx),其中a1,a2,…,an为常数，且对一切x有｜f(x)｜≤｜ex－1｜,证明｜a1+2a2+…+nan｜≤1.

设A为3阶实对称矩阵，存在可逆矩阵，使得P-1AP=diag(1，2，-1)，A的伴随矩阵A有特征值λ0，对应的特征向量为α=(2，5，-1)T。求正交矩阵Q，使得QTAQ=A。

设A，B是n阶可逆矩阵，且A-1～B-1，则下列结果①AB～BA②A～B③A2～B2④AT～BT正确的个数为()

设3阶矩阵A有三重特征值1，f(x)=｜xE-A｜-｜A-1｜，则至少存在一点x0∈(0，1)，使得y=f(x)在(x0，f(x0))处的切线()

设向量β=(b，1，1)T可由α1=(a，0，1)T，α2=(1，a-1，1)T，α3=(1，0，a)T线性表示，且表示方法不唯一，记A=(α1，α2，α3)。求可逆矩阵P，使得P-1AP=A

A、2B、C、D、πC先作代换将反常积分化为定积分计算．如积分区间为对称区间，为简化计算，还应考察被积函数或其子函数的奇偶性．解

从5个数：1，2，3，4，5中任取3个数，再按从小到大排列，设X表示中间那个数，求X的概率分布．

3个电子元件并联成一个系统，只有当3个元件损坏2个或2个以上时，系统便报废．已知电子元件的寿命服从参数为1/1000的指数分布，求系统的寿命超过1000h的概率．

设X1，X2，…Xn是来自总体X的样本，X的分布密度为试用矩估计法估计总体参数θ．

一般国家都规定，不允许外国货币在本国流通，只有将外币兑换成本国货币，才能够购买本国商品和劳务，因此产生了()。

A．慢性咳嗽，咳痰，双肺呼吸音正常B．慢性咳嗽，咳痰，右下肺局限性固定性湿罗音C．慢性咳嗽，咳痰3年，每年发作3个月以上D．咳嗽，咳大量脓痰，高热E．咳粉红色泡沫痰

A、卡莫司汀B、噻替哌C、罗格列酮D、米非司酮E、阿司咪唑H1受体拮抗剂

适用于遇水不稳定的药物的软膏基质是

A．第一对鳃弓B．第一、二、三对鳃弓C．第二、三、四对鳃弓D．第三、四、五对鳃弓E．第四、五、六对鳃弓舌前2／3黏膜来自于哪对鳃弓

患儿，7岁，排尿时突然尿流中断，哭喊疼痛，搓拉阴茎后症状消失。考虑可能的疾病是

人月费单价法中人月费率也称月酬金，由咨询人员的基本工资、()、公司管理费、利润、海外津贴与艰苦地区津贴组成。

驶入我国港口或行驶于我国港口之间的下列哪些船舶应征收船舶吨税?()

ReadingSkillsandStrategies1.SpeedreadingAim:toincreasereadingspeedwithout【T1】understanding【T1】______StrategiesIden

设A是n阶实对称矩阵．证明： (1)存在实数c，使对一切x∈Rn，有｜xTAx｜≤cxTx． (2)若A正定，则对任意正整数k，An也是对称正定矩阵． (3)必可找到一个数a，使A+aE为对称正定矩阵．

考研数学一

设f(x)在[a,b]上二阶可导，且f"(x)＞0,取xi∈[a,b](i=1,2,…,n)及ki＞0（i=1,2,…,n)且满足k1+k2+…+kn=1,证明：f(k1x1+k2x2+k3x3+…+knxn)≤k1f(x1)+k2f(x2)+k3f(x

设f(x)=a1ln(1+x)+a2ln(1+2x)+…+anln(1+nx),其中a1,a2,…,an为常数，且对一切x有｜f(x)｜≤｜ex－1｜,证明｜a1+2a2+…+nan｜≤1.

设A为3阶实对称矩阵，存在可逆矩阵，使得P-1AP=diag(1，2，-1)，A的伴随矩阵A*有特征值λ0，对应的特征向量为α=(2，5，-1)T。求正交矩阵Q，使得QTA*Q=A。

设A，B是n阶可逆矩阵，且A-1～B-1，则下列结果①AB～BA②A～B③A2～B2④AT～BT正确的个数为()

设3阶矩阵A有三重特征值1，f(x)=｜xE-A｜-｜A-1｜，则至少存在一点x0∈(0，1)，使得y=f(x)在(x0，f(x0))处的切线()

设向量β=(b，1，1)T可由α1=(a，0，1)T，α2=(1，a-1，1)T，α3=(1，0，a)T线性表示，且表示方法不唯一，记A=(α1，α2，α3)。求可逆矩阵P，使得P-1AP=A

A、2B、C、D、πC先作代换将反常积分化为定积分计算．如积分区间为对称区间，为简化计算，还应考察被积函数或其子函数的奇偶性．解

从5个数：1，2，3，4，5中任取3个数，再按从小到大排列，设X表示中间那个数，求X的概率分布．

3个电子元件并联成一个系统，只有当3个元件损坏2个或2个以上时，系统便报废．已知电子元件的寿命服从参数为1/1000的指数分布，求系统的寿命超过1000h的概率．

设X1，X2，…Xn是来自总体X的样本，X的分布密度为试用矩估计法估计总体参数θ．

一般国家都规定，不允许外国货币在本国流通，只有将外币兑换成本国货币，才能够购买本国商品和劳务，因此产生了()。

A．慢性咳嗽，咳痰，双肺呼吸音正常B．慢性咳嗽，咳痰，右下肺局限性固定性湿罗音C．慢性咳嗽，咳痰3年，每年发作3个月以上D．咳嗽，咳大量脓痰，高热E．咳粉红色泡沫痰

A、卡莫司汀B、噻替哌C、罗格列酮D、米非司酮E、阿司咪唑H1受体拮抗剂

适用于遇水不稳定的药物的软膏基质是

A．第一对鳃弓B．第一、二、三对鳃弓C．第二、三、四对鳃弓D．第三、四、五对鳃弓E．第四、五、六对鳃弓舌前2／3黏膜来自于哪对鳃弓

患儿，7岁，排尿时突然尿流中断，哭喊疼痛，搓拉阴茎后症状消失。考虑可能的疾病是

人月费单价法中人月费率也称月酬金，由咨询人员的基本工资、()、公司管理费、利润、海外津贴与艰苦地区津贴组成。

驶入我国港口或行驶于我国港口之间的下列哪些船舶应征收船舶吨税?()

ReadingSkillsandStrategies1.SpeedreadingAim:toincreasereadingspeedwithout【T1】understanding【T1】______StrategiesIden

设A为3阶实对称矩阵，存在可逆矩阵，使得P-1AP=diag(1，2，-1)，A的伴随矩阵A有特征值λ0，对应的特征向量为α=(2，5，-1)T。求正交矩阵Q，使得QTAQ=A。