设A，B是n阶可逆矩阵，且A-1～B-1，则下列结果 ①AB～BA ②A～B ③A2～B2 ④AT～BT正确的个数为( )

admin2021-12-14 52

问题设A，B是n阶可逆矩阵，且A^-1～B^-1，则下列结果
①AB～BA
②A～B
③A²～B²
④A^T～B^T正确的个数为( )

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案D

解析由BA=EBA=A^-1ABA=A^-1(AB)A，知AB～BA，由A^-1～B^-1，知存在可逆矩阵P，使得P^-1A^-1P=B^-1 (1)式(1)两边求逆，得p^-1AP=B (2)故A～B。式(2)两边取转置，得P^TA^T(P^-1)^T=B^T，即P^TA^T(P^T)^-1=B^T，故A^T～B^T，又P^-1AP·P^-1AP=P^-1A²P=B²，知A²～B²，故D正确。

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