(Ⅰ)记Ω(R)={(x，y)｜x2+y2≤R2}，I(R)=e-(x2+y2)dxdy，求I(R)； (Ⅱ)证明：∫-∞+∞e-x2dx=

admin2018-06-27 17

问题 (Ⅰ)记Ω(R)={(x，y)｜x²+y²≤R²}，I(R)=

e^-(x²+y²)dxdy，求

I(R)；
(Ⅱ)证明：∫_-∞^+∞e^-x²dx=

选项

答案(Ⅰ)首先用极坐标变换求出I(R)，然后求极限[*]I(R). 作极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ得 I(R)=∫₀^2πdθ∫₀^Re^-r²rdr=2π([*]e^-r²)｜₀^R=π(1-e^-R²)．因此，[*] (Ⅱ)因为e^-x²在(-∞，+∞)可积，则∫_-∞^+∞e^-x²dx=[*]∫_-R^Re^-x²dx．通过求∫_-R^Re^-x²dx再求极限的方法行不通，因为∫e^-x²dx积不出来(不是初等函数)．但可以估计这个积分值．为了利用[*]e^-(x²+y²)dxdy，我们仍把一元函数的积分问题转化为二元函数的重积分问题． (∫_-R^Re^-x²dx)=∫_-R^Re^-x²dx∫_-R^Re^-y²dy=[*]e^-(x²+y²)dxdy．其中D(R)={(x，y)｜｜x｜≤R，｜y｜≤R}．显然I(R)≤[*]e^-(x²+y²)dxdy≤[*]，又[*]，于是 [*](∫_-R^Re^-x²dx)²=(∫_-∞^+∞e^-x²dx)²=π.

解析

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考研数学二

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(Ⅰ)记Ω(R)={(x，y)｜x2+y2≤R2}，I(R)=e-(x2+y2)dxdy，求I(R)； (Ⅱ)证明：∫-∞+∞e-x2dx=

考研数学二

已知向量组α1＝(1，2，－1，1)，α2＝(2，0，t，0)，α3＝(0，－4，5，－2)的秩为2，则t＝________。

设3阶矩阵A满足Aαi＝iαi(i＝1，2，3)，其中列向量α1＝(1，2，2)T，α2＝(2，－2，1)T，α3＝(－2，－1，2)T，试求矩阵A．

设有三个线性无关的特征向量，求x和y应满足的条件．

设a＞1，f(t)＝at－at在(－∞，＋∞)内的驻点为t(a)．问a为何值时，t(a)最小?并求出最小值．

设f(x)，g(x)在区间[－a，a](a＞0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)＋f(－x)＝A(A为常数)．(1)证明∫－aaf(x)g(x)dx＝A∫0ag(x)dx；(2)利用(1)的结论计算定积分｜sinx｜arct

已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出：求y(x)的凹凸区间及拐点．

设方程的全部解均以，π为周期，则常数a取值为

已知三元二次型xTAx的平方项系数均为Ω设α=(1，2，一1)T且满足Aα=2α．求正交变换x=Qy化二次型为标准形．并写出所用坐标变换．

已知三元二次型xTAx的平方项系数均为Ω设α=(1，2，一1)T且满足Aα=2α．求该二次型表达式；

设平面区域D={(x，y)｜1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0}，计算

《雷雨》是一出（）

如下_______成立，必使p∧q∧r为假。()

一种与生活愿望相结合并指向于未来的想象是（　　　）。

下列穴位中，可治疗瘾疹、湿疹、丹毒等血热性皮外科病的穴位是

关于两组呈正态分布的数值变量资料，但均数相差悬殊，若比较离散趋势，最好选用下列哪项指标

按现行制度，现金日记账和银行存款日记账必须采用订本式账簿。()

培养德、智、体全面发展的社会主义事业的建设者和接班人的根本途径是()。

在教学中最常用的方法是

在VisualFoxPro中，"表"通常是指

(Ⅰ)记Ω(R)={(x，y)｜x2+y2≤R2}，I(R)=e-(x2+y2)dxdy，求I(R)； (Ⅱ)证明：∫-∞+∞e-x2dx=

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设3阶矩阵A满足Aαi＝iαi(i＝1，2，3)，其中列向量α1＝(1，2，2)T，α2＝(2，－2，1)T，α3＝(－2，－1，2)T，试求矩阵A．

设有三个线性无关的特征向量，求x和y应满足的条件．

设a＞1，f(t)＝at－at在(－∞，＋∞)内的驻点为t(a)．问a为何值时，t(a)最小?并求出最小值．

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如下_______成立，必使p∧q∧r为假。()

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