(Ⅰ)记Ω(R)={(x，y)｜x2+y2≤R2}，I(R)=e-(x2+y2)dxdy，求I(R)； (Ⅱ)证明：∫-∞+∞e-x2dx=

admin2018-06-27 11

问题 (Ⅰ)记Ω(R)={(x，y)｜x²+y²≤R²}，I(R)=

e^-(x²+y²)dxdy，求

I(R)；
(Ⅱ)证明：∫_-∞^+∞e^-x²dx=

选项

答案(Ⅰ)首先用极坐标变换求出I(R)，然后求极限[*]I(R). 作极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ得 I(R)=∫₀^2πdθ∫₀^Re^-r²rdr=2π([*]e^-r²)｜₀^R=π(1-e^-R²)．因此，[*] (Ⅱ)因为e^-x²在(-∞，+∞)可积，则∫_-∞^+∞e^-x²dx=[*]∫_-R^Re^-x²dx．通过求∫_-R^Re^-x²dx再求极限的方法行不通，因为∫e^-x²dx积不出来(不是初等函数)．但可以估计这个积分值．为了利用[*]e^-(x²+y²)dxdy，我们仍把一元函数的积分问题转化为二元函数的重积分问题． (∫_-R^Re^-x²dx)=∫_-R^Re^-x²dx∫_-R^Re^-y²dy=[*]e^-(x²+y²)dxdy．其中D(R)={(x，y)｜｜x｜≤R，｜y｜≤R}．显然I(R)≤[*]e^-(x²+y²)dxdy≤[*]，又[*]，于是 [*](∫_-R^Re^-x²dx)²=(∫_-∞^+∞e^-x²dx)²=π.

解析

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考研数学二

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