(Ⅰ)记Ω(R)={(x，y)｜x2+y2≤R2}，I(R)=e-(x2+y2)dxdy，求I(R)； (Ⅱ)证明：∫-∞+∞e-x2dx=

admin2018-06-27 21

问题 (Ⅰ)记Ω(R)={(x，y)｜x²+y²≤R²}，I(R)=

e^-(x²+y²)dxdy，求

I(R)；
(Ⅱ)证明：∫_-∞^+∞e^-x²dx=

选项

答案(Ⅰ)首先用极坐标变换求出I(R)，然后求极限[*]I(R). 作极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ得 I(R)=∫₀^2πdθ∫₀^Re^-r²rdr=2π([*]e^-r²)｜₀^R=π(1-e^-R²)．因此，[*] (Ⅱ)因为e^-x²在(-∞，+∞)可积，则∫_-∞^+∞e^-x²dx=[*]∫_-R^Re^-x²dx．通过求∫_-R^Re^-x²dx再求极限的方法行不通，因为∫e^-x²dx积不出来(不是初等函数)．但可以估计这个积分值．为了利用[*]e^-(x²+y²)dxdy，我们仍把一元函数的积分问题转化为二元函数的重积分问题． (∫_-R^Re^-x²dx)=∫_-R^Re^-x²dx∫_-R^Re^-y²dy=[*]e^-(x²+y²)dxdy．其中D(R)={(x，y)｜｜x｜≤R，｜y｜≤R}．显然I(R)≤[*]e^-(x²+y²)dxdy≤[*]，又[*]，于是 [*](∫_-R^Re^-x²dx)²=(∫_-∞^+∞e^-x²dx)²=π.

解析

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考研数学二

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(Ⅰ)记Ω(R)={(x，y)｜x2+y2≤R2}，I(R)=e-(x2+y2)dxdy，求I(R)； (Ⅱ)证明：∫-∞+∞e-x2dx=

考研数学二

求，其中D是由圆x2＋y2＝4和(x＋1)2＋y2＝1所围成的平面区域(如图1—5—13)．

设A是任一n(n≥3)阶方阵，A是A的伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)等于

设f(x)是奇函数，除x＝0外处处连续，x＝0是其第一类间断点，则∫0xf(t)dt是

设z=z(x，y)是由9x2一54xy+90y2一6yz—z2+18=0确定的函数，求z=z(x，y)的极值点和极值．

设u=M(x，y)在全平面上有连续偏导数，若(x2+y2≥R2>0)，求证

作自变量替换，把方程变换成y关于t的微分方程，并求原方程的通解．

试证明：当x>0时，存在θ(x)∈(0，1)，使得

计算二重积分．其中D={(x，y)｜x2+y2≤a2，常数a>0}．

已知向量β=(α1,α2,α3,α4)T可以由α1=(1，0，0，1)T，α2=(1，1，0，0)T，α3=(0，2，一1，一3)T，α4=(0，0，3，3)T线性表出．把向量β分别用α1,α2,α3,α4和它的极大线性无关组线性表出．

设A为可逆的实对称矩阵，则二次型XTAX与XTA-1X()．

试述冲突的基本过程。

计算．

左心衰竭患者合并右心衰竭后，可能减轻左心衰竭时的临床表现的是

钢丝绳在破断前一般有（）等预兆，容易检查、便于预防事故。

34.下列哪项属于家庭财产保险的可保财产?()37.若张山投保了10年期的家庭财产两全保险，如果投保当时，10年期年利率为4%，保险费率为5%。那么张山投保保险金额为2000元的家庭财产两全保险，相应的保险储金应为()。

消费税纳税人销售货物一并收取的下列款项中，应计入消费税计税依据的有()。

2014年，中国游戏市场用户数量约为5．17亿人，比2013年增长了4．6％，同比增长率比2013年减少了16个百分点。下列说法不正确的是：

(2008下软设)下面关于网络系统设计原则的论述，正确的是______。

Itiswellknownthatteenageboystendtodobetter【C1】________maththangirls,thatmalehighschoolstudentsaremorelikely

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求，其中D是由圆x2＋y2＝4和(x＋1)2＋y2＝1所围成的平面区域(如图1—5—13)．

设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是A的伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*等于

设f(x)是奇函数，除x＝0外处处连续，x＝0是其第一类间断点，则∫0xf(t)dt是

设z=z(x，y)是由9x2一54xy+90y2一6yz—z2+18=0确定的函数，求z=z(x，y)的极值点和极值．

设u=M(x，y)在全平面上有连续偏导数，若(x2+y2≥R2>0)，求证

作自变量替换，把方程变换成y关于t的微分方程，并求原方程的通解．

试证明：当x>0时，存在θ(x)∈(0，1)，使得

计算二重积分．其中D={(x，y)｜x2+y2≤a2，常数a>0}．

已知向量β=(α1,α2,α3,α4)T可以由α1=(1，0，0，1)T，α2=(1，1，0，0)T，α3=(0，2，一1，一3)T，α4=(0，0，3，3)T线性表出．把向量β分别用α1,α2,α3,α4和它的极大线性无关组线性表出．

设A为可逆的实对称矩阵，则二次型XTAX与XTA-1X()．

试述冲突的基本过程。

计算．

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34.下列哪项属于家庭财产保险的可保财产?()37.若张山投保了10年期的家庭财产两全保险，如果投保当时，10年期年利率为4%，保险费率为5%。那么张山投保保险金额为2000元的家庭财产两全保险，相应的保险储金应为()。

消费税纳税人销售货物一并收取的下列款项中，应计入消费税计税依据的有()。

2014年，中国游戏市场用户数量约为5．17亿人，比2013年增长了4．6％，同比增长率比2013年减少了16个百分点。下列说法不正确的是：

(2008下软设)下面关于网络系统设计原则的论述，正确的是______。

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设A是任一n(n≥3)阶方阵，A是A的伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)等于