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设f(x)在区间[a,b]上二阶连续可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得∫abf(x)dx=(b-a)f((a+b)/2)+(b-a)3/24f"(ξ).
设f(x)在区间[a,b]上二阶连续可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得∫abf(x)dx=(b-a)f((a+b)/2)+(b-a)3/24f"(ξ).
admin
2022-10-25
40
问题
设f(x)在区间[a,b]上二阶连续可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得∫
a
b
f(x)dx=(b-a)f((a+b)/2)+(b-a)
3
/24f"(ξ).
选项
答案
令F(x)=∫
a
x
f(t)dt,则F(x)在[a,b]上三阶连续可导,取x
0
=(a+b)/2,由泰勒公式得F(a)=F(x
0
)+F’(x
0
)(a-x
0
)+F"(x
0
)/2!(a-x
0
)
2
+F"’(ξ
1
)/3!(a-x
0
)
3
,ξ
1
∈(a,x
0
),F(b)=F(x
0
)+F’(x
0
)(b-x
0
)+F"(x
0
)/2!(b-x
0
)
2
+F"’(ξ
2
)/3!(b-x
0
)
3
,ξ
2
∈(b,x
0
),两式相减得F(b)-F(a)=F’(x
0
)(b-a)+(b-a)
3
/48[F’"(ξ
1
)+F’"(ξ
2
)],即∫
a
b
f(x)dx=(b-a)f((a+b/2)/2)+(b-a)
3
/48[f"(×
1
)+f"(ξ
2
)],因为f"(x)在[a,b]上连续,所以存在ξ∈[ξ
1
,ξ
2
]∈(a,b),使得f"(ξ)=1/2[f"(ξ
1
)+f"(ξ
2
)],从而∫
a
b
f(x)dx=(b-a)f((a+b)/2)+(b-a)
3
/24f"(ξ).
解析
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考研数学三
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