设α1 ,α2 ,α3 ,α4为四维列向量组,且α1 ,α2 ,α3线性无关,α4=α1+α2+2α3.已知方程组[α1一α2 ,α2+α3 ,一α1+α2+α3]X=α4有无穷多解. (1)求a的值; (2)用基础解系表示该方程组的通解.

admin2020-05-16  46

问题 设α1 ,α2 ,α3 ,α4为四维列向量组,且α1 ,α2 ,α3线性无关,α412+2α3.已知方程组[α1一α2 ,α23 ,一α123]X=α4有无穷多解.
(1)求a的值;
(2)用基础解系表示该方程组的通解.

选项

答案为求参数a的值,在线性代数中常先找出含此参数的等于0的行列式,然后解之。所给方程组由于有无穷多解,则 r(A)=r(α1一α2 ,α23 ,一α1+aα23)<3. 由 [α1一α2 ,α23 ,一α1+aα23]=[α1 ,α2 ,α3] [*] 知,必有[*] 从而可求出a,为求其基础解系,需将原方程组恒等变形去掉满秩矩阵,得其同解方程组而求之. 由题设,得矩阵 [α1一α2 ,α23 ,一α1+aα23]=[α1 ,α2 ,α3] [*] 的秩小于3,又α1 ,α2 ,α3线性无关,故矩阵[*]不可逆,由 [*]=2一a=0,得a=2. 方程组[α1一α2 ,α23 ,一α1一2α23]X=α4化为 [α1 ,α2 ,α3][*] X=[α1 ,α2 ,α3][*] 因为α1 ,α2 ,α3线性无关,所以原方程组与方程组[*]同解. 下面求方程组[*]的通解,为此先求出其导出组的基础解系及原方程组的二特解.将增广矩阵[*]用初等行变换化为系数矩阵含最高阶单位矩阵的矩阵: [*] 用基础解系、特解的简便求法得到其基础解系只含一个解向量α=[1,一1,1]T ,特解为η=[1,2,0]T ,故所求的通解为 kα+η=k[1,一1,1]T+[1,2,0]T ,k为任意常数.

解析
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