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  3. 设A为m×n矩阵．证明：对任意m维列向量b，非齐次线性方程组Ax=b恒有解的充分必要条件是r(A)=m．

设A为m×n矩阵．证明：对任意m维列向量b，非齐次线性方程组Ax=b恒有解的充分必要条件是r(A)=m．

admin2019-03-12  69
问题 设A为m×n矩阵．证明：对任意m维列向量b，非齐次线性方程组Ax=b恒有解的充分必要条件是r(A)=m．
选项
答案必要性：由必要性假定，对εj=(0，…，0，1．0，…，0)T(第j个分量为1，其余分量均为零)，方程组Ax=εj有解cj，即Acj=εj(j=1，2，…，m)，故有[Ac1 Ac2…Acm]=[ε1 ε2…εm]=Em，记矩阵c=[c1 c2…cm]，则有Ac=Em，故有m=r(Em)=r(Ac)≤r(A)≤m，[*]r(A)=m；充分性：若r(A)=m，则A的行向量组线性无关，故增广矩阵[*]b]的行向量组也线性无关，[*])=m，由有解判定定理知方程组Ax=b有解，其中b为任意m维列向量．
解析
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考研数学三

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