设总体X在区间[0,θ]上服从均匀分布,X1,X2,…,Xn是取自总体X的简单随机样本,X(n)=max(X1,…,Xn). (Ⅰ)求θ的矩估计量和最大似然估计量; (Ⅱ)求常数a,b,使=bX(n)均为θ的无偏估计,并比较其有效性; (Ⅲ)应用切比雪夫不

admin2016-10-26  47

问题 设总体X在区间[0,θ]上服从均匀分布,X1,X2,…,Xn是取自总体X的简单随机样本,X(n)=max(X1,…,Xn).
(Ⅰ)求θ的矩估计量和最大似然估计量;
(Ⅱ)求常数a,b,使=bX(n)均为θ的无偏估计,并比较其有效性;
(Ⅲ)应用切比雪夫不等式证明:均为θ的一致性(相合性)估计.

选项

答案(Ⅰ)依题意总体X的密度函数、分布函数分别为 [*] 令μ=EX=[*],解得θ=2μ,于是θ的矩估计量为[*] 又样本X1,…,Xn的似然函数为 [*] L(θ)为θ的单调减函数,且0≤xi≤θ,即θ要取大于xi的一切值,因此θ的最小取值为max(x1,…,xn),θ的最大似然估计量[*]=max(X1,…,Xn)=X(n). (Ⅱ)由于EX=[*]为θ的无偏估计,且[*] 为求得b,必须求X(n)的分布函数F(n)(x)及密度函数f(n)(x),由X(n)=max(X1,…,Xn)得 [*] [*] 从而[*]为θ的一致性估计.

解析
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