设总体X在区间[0，θ]上服从均匀分布，X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，X(n)=max(X1，…，Xn)． (Ⅰ)求θ的矩估计量和最大似然估计量； (Ⅱ)求常数a，b，使=bX(n)均为θ的无偏估计，并比较其有效性； (Ⅲ)应用切比雪夫不

admin2016-10-26 70

问题设总体X在区间[0，θ]上服从均匀分布，X₁，X₂，…，X_n是取自总体X的简单随机样本，

X_(n)=max(X₁，…，X_n)．
(Ⅰ)求θ的矩估计量和最大似然估计量；
(Ⅱ)求常数a，b，使

=bX_(n)均为θ的无偏估计，并比较其有效性；
(Ⅲ)应用切比雪夫不等式证明：

均为θ的一致性(相合性)估计．

选项

答案(Ⅰ)依题意总体X的密度函数、分布函数分别为 [*] 令μ=EX=[*]，解得θ=2μ，于是θ的矩估计量为[*] 又样本X₁，…，X_n的似然函数为 [*] L(θ)为θ的单调减函数，且0≤x_i≤θ，即θ要取大于x_i的一切值，因此θ的最小取值为max(x₁，…，x_n)，θ的最大似然估计量[*]=max(X₁，…，X_n)=X_(n)． (Ⅱ)由于EX=[*]为θ的无偏估计，且[*] 为求得b，必须求X_(n)的分布函数F_(n)(x)及密度函数f_(n)(x)，由X_(n)=max(X₁，…，X_n)得 [*] [*] 从而[*]为θ的一致性估计．

解析

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考研数学一

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设总体X在区间[0，θ]上服从均匀分布，X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，X(n)=max(X1，…，Xn)． (Ⅰ)求θ的矩估计量和最大似然估计量； (Ⅱ)求常数a，b，使=bX(n)均为θ的无偏估计，并比较其有效性； (Ⅲ)应用切比雪夫不

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