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设f(x)在(一∞，+∞)连续，存在极限f(x)=B．证明： (Ⅰ)设A＜B，则对ξ∈(一∞，+∞)，使得f(ξ)=μ； (Ⅱ)f(x)在(一∞，+∞)上有界．
设f(x)在(一∞，+∞)连续，存在极限f(x)=B．证明： (Ⅰ)设A＜B，则对ξ∈(一∞，+∞)，使得f(ξ)=μ； (Ⅱ)f(x)在(一∞，+∞)上有界．
admin
2017-10-23
66
问题
设f(x)在(一∞，+∞)连续，存在极限
f(x)=B．证明：
(Ⅰ)设A＜B，则对
ξ∈(一∞，+∞)，使得f(ξ)=μ；
(Ⅱ)f(x)在(一∞，+∞)上有界．
选项
答案
利用极限的性质转化为有界区间的情形． (Ⅰ)由[*]f(x)=A<μ及极限的不等式性质可知，[*]X
1
使得f(X
1
)＜μ． 由[*]X
2
>X
1
使得f(X
2
)＞μ．因f(x)在[X
1
，X
2
]连续，f(X
1
)＜μ＜f(X
2
)，由连续函数介值定理知[*](一∞，+∞)，使得f(ξ)=μ． (Ⅱ)因[*]f(x)=B，由存在极限的函数的局部有界性定理可知，[*]X
1
，使得当x∈(一∞，X
1
)时f(x)有界；[*]X
2
(＞X
1
)，使得当x∈(X
2
，+∞)时f(x)有界．又由有界闭区间上连续函数的有界性定理可知，f(x)在[X
1
，X
2
]上有界．因此f(x)在(一∞，+∞)上有界．
解析
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考研数学三
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