2. 考研
  3. 设函数f(x)具有任意阶导数，且f’(x)=[f(x)]2，则f(n)(x)= ( )

设函数f(x)具有任意阶导数，且f’(x)=[f(x)]2，则f(n)(x)= ( )

admin2019-08-12  34
问题 设函数f(x)具有任意阶导数，且f’(x)=[f(x)]2，则f(n)(x)=    (    )
选项 A、n[f(x)]n+1
B、n![f(x)]n+1
C、(n+1)[f(x)]n+1
D、(n+1)![f(x)]n+1
答案B
解析 由f’(x)=[f(x)]2得
    f"(x)=[f’(x)]’=[(f(x))2]’=2f(x)f’(x)=2[f(x)]3，
    这样n=1，2时f(n)(x)=n![f(x)]n+1成立．假设n=k时，f(k)(x)=k![f(x)]k+1．则当n=k+1时，有
    f(k+1)(x)=[k!(f(x))k+1]’=(k+1)![f(x)]kf’(x)=(k+1)![f(x)]k+2，由数学归纳法可知，结论成立，故选(B)．
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考研数学二

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