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设函数f(x)具有任意阶导数,且f’(x)=[f(x)]2,则f(n)(x)= ( )
设函数f(x)具有任意阶导数,且f’(x)=[f(x)]2,则f(n)(x)= ( )
admin
2019-08-12
55
问题
设函数f(x)具有任意阶导数,且f’(x)=[f(x)]
2
,则f
(n)
(x)= ( )
选项
A、n[f(x)]
n+1
B、n![f(x)]
n+1
C、(n+1)[f(x)]
n+1
D、(n+1)![f(x)]
n+1
答案
B
解析
由f’(x)=[f(x)]
2
得
f"(x)=[f’(x)]’=[(f(x))
2
]’=2f(x)f
’
(x)=2[f(x)]
3
,
这样n=1,2时f
(n)
(x)=n![f(x)]
n+1
成立.假设n=k时,f
(k)
(x)=k![f(x)]
k+1
.则当n=k+1时,有
f
(k+1)
(x)=[k!(f(x))
k+1
]’=(k+1)![f(x)]
k
f’(x)=(k+1)![f(x)]
k+2
,由数学归纳法可知,结论成立,故选(B).
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考研数学二
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