设A是三阶矩阵,其特征值是1,3,—2,相应的特征向量依次为α1,α2,α3,若P=(α1,2α3,—α2),则P—1AP=( )

admin2020-03-01  31

问题 设A是三阶矩阵,其特征值是1,3,—2,相应的特征向量依次为α1,α2,α3,若P=(α1,2α3,—α2),则P—1AP=(    )

选项 A、 
B、 
C、 
D、 

答案A

解析 由题意得,Aα2=3α2,因此有A(—α2)=3(—α2),即当α2是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量时,—α2仍是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量。同理2α3仍是矩阵A属于特征值λ= —2的特征向量。
当P—1AP=Λ时,P由A的特征向量所构成,Λ由A的特征值所构成,且P的列向量与Λ对角线上的元素的位置是一一对应的。因为已知矩阵A的特征值是1,3,—2,故对角矩阵Λ对角线上元素应当由1,3,—2构成,因此排除选项B、C。
由于2α3是属于λ= —2的特征向量,所以—2在对角矩阵Λ中应当是第2列第2行的元素,排除D,故选A。
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