2. 考研
  3. 设A是三阶矩阵，其特征值是1，3，—2，相应的特征向量依次为α1，α2，α3，若P=(α1，2α3，—α2)，则P—1AP=( )

设A是三阶矩阵，其特征值是1，3，—2，相应的特征向量依次为α1，α2，α3，若P=(α1，2α3，—α2)，则P—1AP=( )

admin2020-03-01  46
问题 设A是三阶矩阵，其特征值是1，3，—2，相应的特征向量依次为α1，α2，α3，若P=(α1，2α3，—α2)，则P—1AP=(    )
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案A
解析 由题意得，Aα2=3α2，因此有A(—α2)=3(—α2)，即当α2是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量时，—α2仍是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量。同理2α3仍是矩阵A属于特征值λ= —2的特征向量。
当P—1AP=Λ时，P由A的特征向量所构成，Λ由A的特征值所构成，且P的列向量与Λ对角线上的元素的位置是一一对应的。因为已知矩阵A的特征值是1，3，—2，故对角矩阵Λ对角线上元素应当由1，3，—2构成，因此排除选项B、C。
由于2α3是属于λ= —2的特征向量，所以—2在对角矩阵Λ中应当是第2列第2行的元素，排除D，故选A。
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考研数学二

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