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(11年)设A为4×3矩阵,η1,η2,η3是非齐次线性方程组Aχ=β的3个线性无关的解,k1,k2为任意常数,则Aχ=β的通解为 【 】
(11年)设A为4×3矩阵,η1,η2,η3是非齐次线性方程组Aχ=β的3个线性无关的解,k1,k2为任意常数,则Aχ=β的通解为 【 】
admin
2021-01-25
53
问题
(11年)设A为4×3矩阵,η
1
,η
2
,η
3
是非齐次线性方程组Aχ=β的3个线性无关的解,k
1
,k
2
为任意常数,则Aχ=β的通解为 【 】
选项
A、
+k
1
(η
2
-η
1
).
B、
+k
1
(η
2
-η
1
).
C、
+k
1
(η
2
-η
1
)+k
2
(η
3
-η
1
).
D、
+k
1
(η
2
-η
1
)+k
2
(η
3
-η
1
).
答案
C
解析
首先,由A[
(η
2
+η
3
)]=β,知
(η
2
+η
3
)是Aχ=β的一个特解;其次,由解的性质或直接验证,知η
2
-η
1
及η
3
-η
1
均为方程组Aχ=0的解;再次,由η
1
,η
2
,η
3
线性无关,利用线性无关的定义,或由
[η
2
-η
1
,η
3
-η
1
]=[η
1
,η
2
,η
3
]
及矩阵
的秩为2,知向量组η
2
-η
1
,η
3
-η
1
线性无关,因此,方程组Aχ=0至少有2个线性无关的解,但它不可能有3个线性无关的解,于是η
2
-η
1
,η
3
-η
1
可作为Aχ=0的基础解系,Aχ=0的通解为k
1
(η
2
-η
1
)+k
2
(η
3
-η
1
),再由非齐次线性方程组解的结构定理即知只有选项C正确.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Mrx4777K
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考研数学三
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