首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设函数f(x)在[a,b]上有连续导数,在(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0, 证明: (1)在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f’(ξ)=f(ξ); (2)在(a,b)内至少存在一点η,η≠ξ,使得f"
设函数f(x)在[a,b]上有连续导数,在(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0, 证明: (1)在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f’(ξ)=f(ξ); (2)在(a,b)内至少存在一点η,η≠ξ,使得f"
admin
2017-04-11
32
问题
设函数f(x)在[a,b]上有连续导数,在(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(b)=0,∫
a
b
f(x)dx=0,
证明:
(1)在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f’(ξ)=f(ξ);
(2)在(a,b)内至少存在一点η,η≠ξ,使得f"(η)=f(η).
选项
答案
(1)由加强型的积分中值定理知,至少存在一点c∈(a,b),使得 f(C)=[*]∫
a
b
f(x)dx=0。(此定理要先证明再使用) 设G(x)=e
一x
f(x),则G(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且G(a)=G(b)=G(C)=0,G’(x)=e
一x
f’(x)一e
一x
f(x)=e
一x
[f’(x)一f(x)].由罗尔定理知,分别存在ξ
1
∈(a,c)和ξ
2
∈(c,b),使得G’(ξ
1
)=G’(ξ
2
)=0,从而f’(ξ
1
)=f(ξ
1
),f’(ξ
2
)=f(ξ
2
). (2)设F(x)=e
x
[f’(x)一f(x)],则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(ξ
1
)=F(ξ
2
)=0,则 F’(x)=e
x
[f"(x)一f’(x)]+e
x
[f’(x)一f(x)]=e
x
[f"(x)一f(x)]. 对F(x)在区间[ξ
1
,ξ
2
]上应用罗尔定理,即存在η∈(ξ
1
,ξ
2
),使得F’(η)=0,故有 f"(η)=f(η),且η≠8(i=1,2).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Mtt4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
设函数f(u)具有二阶连续导数,而z=f(exsiny)满足方程=e2xz,求f(u).
计算二重积分其中积分区域D={(x,y)|x2+y2≤π}。
二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数f’x(x0,y0),f’y(x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的________。
设区域D={(x,y)|x2+y2≤1,x≥0},计算二重积分.
证明:当x>0时,(x2-1)lnx≥(x-1)2.
设f(x+y,x-y)=ex2+y2(x2-y2),求函数f(x,y)和的值.
作x2+(y-3)2=1的图形,并求出两个y是x的函数的单值支的显函数关系.
设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离,恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点(1/2,0).试求曲线L的方程;
本题为“1x”型未定式,除可以利用第二类重要极限进行计算或化为指数函数计算外,由于已知数列的表达式,也可将n换为x转化为函数极限进行计算.一般[*]
设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1,试证必存在ξ∈(0,3),使f’(ξ)=0.
随机试题
脊髓前角γ运动神经元传出冲动增加时,可使()。
患者,男,54岁。近2年来经常头痛、头晕、耳鸣、心悸、手脚麻木,记忆力减退。近1年来于清晨睡醒时常出现心前区阵发性压迫性绞痛并向左肩部放射。就诊时血压170/105mmHg,心电图表现为弓背向下型ST段抬高,诊断为变异型心绞痛。该患者应首选的药物是
电视台、电台和报纸记者的“街头拦人”调查,采取的是()
花钿委地无人收,翠翘金雀玉搔头。(《长恨歌》)委:
不支持窦性心律诊断的心电图表现是
非承包商原因导致非关键线路上的某项工作延误,如延误时间小于该项工作的总时差,则对此项延误的补偿是()。
关于有形贸易的正确说法是()。
以下各项中不属于房地产开发项目质量中的实物质量的是()。
在方法研究的分析工具中,不适用于服务性、行政性或管理性岗位的是()。
BSP设计的出发点是()。
最新回复
(
0
)