[2013年] 设奇函数f(x)在[-1,1]上具有二阶导数,且f(1)=1,证明: 存在η∈(-1,1),使得f’’(η)+f’(η)=1.

admin2019-04-08  20

问题 [2013年]  设奇函数f(x)在[-1,1]上具有二阶导数,且f(1)=1,证明:
存在η∈(-1,1),使得f’’(η)+f’(η)=1.

选项

答案待证等式可改写成f’’(η)+[f’(η)一1]=0,即[f’(η一1]’+[f’(η)一1]=0. 两边乘以eη,则eη[f’(η)一1]’+eη[f’(η)一1]={eη[f’(η)一1]}’=0. 于是应考虑辅助函数F(x)=[f’(x)一1]ex. 由上题知,存在ξ∈(0,1),使f’(ξ)=1,又因f’(x)为偶函数,故f’(一ξ)=f’(ξ)=1,则 F(ξ)=[f’(ξ)一1]eξ=0,F(一ξ)=[f’(一ξ)一1]e=[f’(ξ)一1]e=0. 在区间[一ξ,ξ]上对F(x)使用罗尔定理,即得存在η(一ξ,ξ) [*] (一1,1),使得F’(η)=0.由 F’(x)=ex[f’(x)一1]+exf’’(x), 得F’(η)=eη[f’(η)一1]+eηf’’(η)=0,即f’’(η)+f’(η)=1.

解析
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