设f(x)连续，证明：∫0x[∫0tf(u)du]dt=∫0xf(t)(x—t)dt．

admin2018-04-15 35

问题设f(x)连续，证明：∫₀^x[∫₀^tf(u)du]dt=∫₀^xf(t)(x—t)dt．

选项

答案方法一令F(x)=∫₀^xf(t)dt，则F^’(x)=f(x)，于是∫₀^x[∫₀^tf(μ)dμ]dt=∫₀^xF(t)dt， ∫₀^xf(t)(x－t)dt=x∫₀^xf(t)dt—∫₀^xtf(t)dt=xF(x)一∫₀^xtdF(t) =xF(x)一tF(t)｜₀^x+∫₀^xF(t)dt=∫₀^xF(t)dt．命题得证．方法二因为[*]∫₀^x[∫₀^tf(μ)dμ]dt=∫₀^xf(μ)dμ， [*][x∫₀^xf(t)dt－∫₀^xtf(t)]=∫₀^xf(t)dt，所以∫₀^x[∫₀^tf(μ)dμ一∫₀^xf(t)(x—t)dt≡C₀，取x=0得C₀=0，故 ∫₀^x[∫₀^tf(μ)dμ]dt=∫₀^xf(t)(x-t)dt．

解析

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考研数学一

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