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  3. 设f(x)连续，证明：∫0x[∫0tf(u)du]dt=∫0xf(t)(x—t)dt．

设f(x)连续，证明：∫0x[∫0tf(u)du]dt=∫0xf(t)(x—t)dt．

admin2018-04-15  50
问题 设f(x)连续，证明：∫0x[∫0tf(u)du]dt=∫0xf(t)(x—t)dt．
选项
答案方法一 令F(x)=∫0xf(t)dt，则F’(x)=f(x)，于是∫0x[∫0tf(μ)dμ]dt=∫0xF(t)dt， ∫0xf(t)(x－t)dt=x∫0xf(t)dt—∫0xtf(t)dt=xF(x)一∫0xtdF(t) =xF(x)一tF(t)｜0x+∫0xF(t)dt=∫0xF(t)dt． 命题得证． 方法二 因为[*]∫0x[∫0tf(μ)dμ]dt=∫0xf(μ)dμ， [*][x∫0xf(t)dt－∫0xtf(t)]=∫0xf(t)dt， 所以∫0x[∫0tf(μ)dμ一∫0xf(t)(x—t)dt≡C0，取x=0得C0=0，故 ∫0x[∫0tf(μ)dμ]dt=∫0xf(t)(x-t)dt．
解析
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考研数学一

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