设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)﹦f(b)﹦2。证明存在ξ，η∈(a，b)，使得f(η)﹢f’)﹦2eξ－η。

admin2019-01-22 109

问题设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)﹦f(b)﹦2。证明存在ξ，η∈(a，b)，使得f(η)﹢f^’)﹦2e^ξ－η。

选项

答案首先构造辅助函数g(x)﹦2e^x，显然g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，由拉格朗日中值定理，至少存在一点ξ∈(a，b)，使得[*] 另外，再构造辅助函数F(x)：e^xf(x)，F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，由拉格朗日中值定理，至少存在一点η∈(a，b)，使得[*]，即 [*] 因此可得2e^ξ﹦e^η[f(η)﹢f^’(η)]，即f(η)﹢f^’(η)﹦2e^ξ－η。本题考查拉格朗日中值定理。由于题干中有两个中值ξ，η，因此一般会出现一个函数在两个区间上分别用中值定理或构造两个不同函数分别用中值定理。本题出现了f(x)和e的指数函数，因此需要构造两个函数分别使用中值定理。

解析

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考研数学一

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设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)﹦f(b)﹦2。证明存在ξ，η∈(a，b)，使得f(η)﹢f’)﹦2eξ－η。

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