设f(x)为连续函数,F(x)是f(x)的一个原函数,则下列命题错误的是( ).

admin2019-06-11  31

问题 设f(x)为连续函数,F(x)是f(x)的一个原函数,则下列命题错误的是(    ).

选项 A、若F(x)为奇函数,则f(x)比定为偶函数
B、若f(x)为奇函数,则F(x)必定为偶函数
C、若f(x)为偶函数,则F(x)必定为奇函数
D、若F(x)为偶函数,则f(x)必定为奇函数

答案C

解析 对于A,因为F(x)为f(x)的一个原函数,因此F’(x)=f(x).
若F(x)为奇函数,即F(-x)=-F(x),两端关于x求导,可得
-F’(-x)=-F’(x),

F’(-x)=F’(x).
从而知f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数,可知A正确.
对于B,由于F(x)是f(x)的一个原函数,可知
F(x)=∫0xf(t)dt+C0

F(-x)=∫0-xf(t)dt+C0
令u=-t,则
F(-x)=∫0xf(-u).(-1)du+C0
当f(x)为奇函数时,有
f(-u)=-f(u).
从而有
F(-x)=∫0xf(u)du+C0=F(x),
即F(x)为偶函数,可知B正确.
对于C,取f(x)=x2,则f(x)为偶函数,又(x3+1)’=x2,则x3+1为f(x)=x2的一个原函数,但x3+1不是奇函数,可知C不正确.
对于D,若F(x)为偶函数,即F(-x)=F(x),两端关于x求导,可得-F’(-x)=F’(x),即-f(-x)=f(x),可知f(x)为奇函数,因此D正确.故选C.
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