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设A为三阶矩阵,且有三个互异的正的特征值,设矩阵B=(A*)2-4E的特征值为0,5,32.求A-1的特征值并判断A-1是否可对角化.
设A为三阶矩阵,且有三个互异的正的特征值,设矩阵B=(A*)2-4E的特征值为0,5,32.求A-1的特征值并判断A-1是否可对角化.
admin
2022-04-07
19
问题
设A为三阶矩阵,且有三个互异的正的特征值,设矩阵B=(A
*
)
2
-4E的特征值为0,5,32.求A
-1
的特征值并判断A
-1
是否可对角化.
选项
答案
设A的三个特征值为λ
1
,λ
2
,λ
3
,因为B=(A
*
)
2
-4E的三个特征值为0,5,32,所以(A
*
)
2
的三个特征值为4,9,36,于是A
*
的三个特征值为2,3,6. 又因为|A
*
|=36=|A|
3-1
,所以|A|=6. 由|A|/λ
1
=2,|A|/λ
2
=3,|A|/λ
3
=6,得λ
1
=3,λ
2
=2,λ
3
=1, 由于一对逆矩阵的特征值互为倒数,所以A
-1
的特征值为1,1/2,1/3. 因为A
-1
的特征值都是单值,所以A
-1
可以相似对角化.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/N1R4777K
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考研数学三
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