2. 考研
  3. 设f(x)在[a,b]上连续，且a＜c＜d＜b,证明：在[a,b]内至少存在一点ε，使得 pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ε),其中p,q为任意正常数。

设f(x)在[a,b]上连续，且a＜c＜d＜b,证明：在[a,b]内至少存在一点ε，使得 pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ε),其中p,q为任意正常数。

admin2022-09-05  35
问题 设f(x)在[a,b]上连续，且a＜c＜d＜b,证明：在[a,b]内至少存在一点ε，使得
pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ε),其中p,q为任意正常数。
选项
答案证法一： 令F(x)=(p+q)f(x)－pf(c)－qf(d),可知F(x)在[c.d]上连续,注意到 F(c)=(p+ q) f(c)－pf(c)－qf(d)=q[f(c)－ f(d)]. F(d)=(p+q)f(d)－pf(c)－qf(d)= p[f(d)－ f(c)], 故当f(c)－f(d)=0时,可知c,d均可取作ε； 而当f(c)－f(d)≠0时,又p＞0,q＞0,于是有 F(c)F(d)=－pq[f(c)－f(d)]2＞0 由零点定理可知，至少存在一点ε∈(c,d)[*](a,d)，使得F(ε)=0,即 pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ε). 证法二： 因为 f(x)在[a,b]上连续,故f(x)在[a,b]上有最大值M与最小值m,且有 m≤f(x)≤M 由于c,d∈[a,b],也有 pm≤pf(c)≤pM，qm≤qf(d)≤qM, 两式相加得 (p+q)m≤pf(c)+qf(d)≤(p+q)M 即[*] 由介值定理知，在[a,b]内至少存在一个点ε使得 [*] 即pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ε).
解析
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考研数学三

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