设f(x)为[0，1]上单调减少的连续函数，且f(x)＞0，试证：存在唯一的点ξ∈(0，1)，使得成立．

admin2019-12-26 70

问题设f(x)为[0，1]上单调减少的连续函数，且f(x)＞0，试证：存在唯一的点ξ∈(0，1)，使得

成立．

选项

答案令[*]x∈[0，1]，则F(x)在[0，1]上连续．又 F(0)=-f(0)＜0，[*] 由零点定理可知，至少存在一点ξ∈(0，1)，使F(ξ)=0，则有 [*] 下面用反证法证明ξ的唯一性，假设存在两个值ξ₁，ξ₂∈(0，1)满足上式(不妨设ξ₁＜ξ₂)，则f(ξ₂)-f(ξ₁)＜0，而 [*] 与F(ξ₂)－F(ξ₁)=0矛盾，于是有唯一的ξ∈(0，1)，使得 [*]

解析

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考研数学三

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