设f(x)为[0,1]上单调减少的连续函数,且f(x)>0,试证:存在唯一的点ξ∈(0,1),使得成立.

admin2019-12-26  48

问题 设f(x)为[0,1]上单调减少的连续函数,且f(x)>0,试证:存在唯一的点ξ∈(0,1),使得成立.

选项

答案令[*]x∈[0,1],则F(x)在[0,1]上连续. 又 F(0)=-f(0)<0,[*] 由零点定理可知,至少存在一点ξ∈(0,1),使F(ξ)=0,则有 [*] 下面用反证法证明ξ的唯一性,假设存在两个值ξ1,ξ2∈(0,1)满足上式(不妨设ξ1<ξ2),则f(ξ2)-f(ξ1)<0,而 [*] 与F(ξ2)-F(ξ1)=0矛盾,于是有唯一的ξ∈(0,1),使得 [*]

解析
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