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“对任意给定的ε∈(0,1),总存在正整数N,当,n≥N时,恒有|xn-a|≤2ε”是数列{xn}收敛于a的
“对任意给定的ε∈(0,1),总存在正整数N,当,n≥N时,恒有|xn-a|≤2ε”是数列{xn}收敛于a的
admin
2014-10-08
42
问题
“对任意给定的ε∈(0,1),总存在正整数N,当,n≥N时,恒有|x
n
-a|≤2ε”是数列{x
n
}收敛于a的
选项
A、允分条件但非必要条件.
B、必要条件但非充分条件.
C、允分必要条件.
D、既非充分条件又非必要条件.
答案
C
解析
[分析] 本题考查对数列收敛性定义的理解,注意到2ε仍是可任意小的正数,因此上述条件也是数列收敛的充要条件.当然也可严格推导出它与标准定义是等价的.
[详解] 由数列{x
n
}收敛于a
“对任意给定的ε
1
>0,总存在正整数N
1
,当n>N
1
时,恒有|x
n
-a|<ε
1
”,显然可推导出:“对任意给定的ε∈(0,1),总存在正整数N,当n≥N时,恒有|x
2n
-a|≤2ε”.
反过来,若有“对任意给定的ε∈(0,1),总存在正整数N,当n≥N时,恒有|x
n
-a|≤2ε”,则对任意的ε
1
>0(不妨设0<ε
1
<1,当ε
1
≥1时,取
,代替即可)。取
,存在正整数N,当n≥N时,恒有|x
n
-a|≤2ε=
,令N
1
=N-1,则满足“对任意给定的ε
1
>0,总存在正整数N
1
,当n>N
1
时,恒有|x
n
-a|<ε
1
”.可见上述两种说法是等价的,故应选(C).
[评注] 在复习过程中,对基本概念要理解透彻,而不仅仅在于是否记住.本题若真正理解了数列极限的概念,并注意到2ε仍是可任意小的正数,则可立即得到正确选项.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/NA34777K
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考研数学二
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