2. 考研
  3. 设函数f(x)在［a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且f(a)＝f(b)＝0，＝0． 证明： (Ⅰ)存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)＝0； (Ⅱ)存在η∈(a，b)，使得f"(η)＝f’(η)．

设函数f(x)在［a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且f(a)＝f(b)＝0，＝0． 证明： (Ⅰ)存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)＝0； (Ⅱ)存在η∈(a，b)，使得f"(η)＝f’(η)．

admin2021-12-09  49
问题 设函数f(x)在［a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且f(a)＝f(b)＝0，＝0．
    证明：
(Ⅰ)存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)＝0；
(Ⅱ)存在η∈(a，b)，使得f"(η)＝f’(η)．
选项
答案(Ⅰ)令F(x)＝[*]，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(a)＝F(b)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)＝f(ξ)＝0，即f(ξ)＝0． (Ⅱ)令G(x)＝f’(x)e－x，则G’(x)＝［f"(x)－f’(x)]e－x． f(x)在[a，ξ]上用罗尔定理，存在ξ1∈(a，ξ)，使得f’(ξ1)＝0；f(x)在[ξ，b]上用罗尔定理，存在ξ2∈(ξ，b)，使得f’(ξ2)＝0；G(x)在[ξ1，ξ2]上连续，在(ξ1，ξ2)内可导，G(ξ1)＝G(ξ2)＝0，由罗尔定理，存在η∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使得G’(η)＝［f"(η)－f’(η)]e－x＝0，从而f"(η)＝f’(η)．
解析
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考研数学三

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