2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]连续可导，且f’(0)＝0．证明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)＝2f(x)dx．

设f(x)在[0，1]连续可导，且f’(0)＝0．证明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)＝2f(x)dx．

admin2019-11-25  48
问题 设f(x)在[0，1]连续可导，且f’(0)＝0．证明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)＝2f(x)dx．
选项
答案因为f’(x)在区间[0，1]上连续，所以f’(x)在区间[0，1]上取到最大值M和最 小值m，对f(x)－f(0)＝f’(c)x(其中C介于0与x之间)两边积分得[*]f(x)dx＝[*] f’(c)xdx， 由m≤f’(c)≤M得m[*]xdx≤[*]f’(c)xdx≤M[*]xdx， 即m≤2[*]f’(c)xdx≤M或m≤2[*]f(x)dx≤M， 由介值定理，存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)＝2[*]f(x)dx．
解析
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考研数学三

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