2. 考研
  3. 以下3个命题： ①若数列{un}收敛于A，则其任意子数列必定收敛于A； ②若单调数列{xn}的某一子数列收敛于A，则该数列必定收敛于A； ③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A． 正确的个数为 ( )

以下3个命题： ①若数列{un}收敛于A，则其任意子数列必定收敛于A； ②若单调数列{xn}的某一子数列收敛于A，则该数列必定收敛于A； ③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A． 正确的个数为 ( )

admin2019-01-06  70
问题 以下3个命题：
①若数列{un}收敛于A，则其任意子数列必定收敛于A；
②若单调数列{xn}的某一子数列收敛于A，则该数列必定收敛于A；
③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A．
正确的个数为    (    )
选项 A、0
B、1
C、2
D、3
答案D
解析 对于命题①，由数列收敛的定义可知，若数列{un}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n＞N时，恒有
    |un一A|＜ε，
则当ni＞N时，恒有
    |uni一A|＜ε，
因此数列{uni}也收敛于A，可知命题正确．
    对于命题②，不妨设数列{xn}单调增加，即
    x1≤x2≤…≤xn≤…，
其中某一给定子数列收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当ni＞N时，恒有
    |一A|＜ε．
由于数列{xn}为单调增加的数列，对于任意的n＞N*(其中N*为子列下标大于N的最小值)，必定存在ni≤n≤ni+1，有
一ε＜≤xn一A≤＜ε，
从而    |xn一A|＜ε．
可知数列{xn}收敛于A同理可证，当数列{xn}单调减少时，结论仍成立．因此命题正确．
对于命题③，因由极限的定义可知，对于任意给定的ε＞0，必定存在自然数N1，N2：
  当2n＞N1时，恒有
    |x2n一A|＜ε；
    当2n+1＞N2时，恒有
    |x2n+1一A|＜ε．
  取N=max{N1，N2}，则当n＞N时，总有
    |xn一A|＜ε，
因此=A．可知命题正确．
    故答案选择(D)．
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考研数学三

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