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设f(x)在区间(一∞,+∞)上连续,且满足 f(x)[∫0xetf(t)dt+1]=x+1. 求f(x)的表达式,并证明所得到的f(x)的确在(一∞,+∞)上连续.
设f(x)在区间(一∞,+∞)上连续,且满足 f(x)[∫0xetf(t)dt+1]=x+1. 求f(x)的表达式,并证明所得到的f(x)的确在(一∞,+∞)上连续.
admin
2018-09-20
47
问题
设f(x)在区间(一∞,+∞)上连续,且满足
f(x)[∫
0
x
e
t
f(t)dt+1]=x+1.
求f(x)的表达式,并证明所得到的f(x)的确在(一∞,+∞)上连续.
选项
答案
化成常微分方程处理.为此,令 F(x)=∫
0
x
e
t
f(t)dt+1, 有F’(x)=e
x
f(x),f(x)=e
-x
F’(x).代入原给方程,得 e
-x
F’(x)F(x)=x+1, F’(x)F(x)=(x+1)e
x
, [*] 两边积分,得 [*] 因F(0)=∫
0
0
e
t
f(t)dt+1=1,所以[*]故 F
2
(x)=2xe
x
+1,F(x)=[*] 但因F(0)=1>0,所以取“+”,于是 [*] 下面证明,在区间(一∞,+∞)上,函数φ(x)=2xe
x
+1>0. 事实上,φ’(x)=2(x+1)e
x
,令φ’(x)=0,得x=一1.当x<一1时,φ’(x)<0;当x>一1时,φ’(x)>0,所以φ
min
=φ(一1)=1—2e
-1
=[*] 从而知f(x)表达式的分母根号内恒为正,故f(x)在(一∞,+∞)上连续.讨论完毕.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/83W4777K
0
考研数学三
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