2. 考研
  3. 设f(x)在区间(一∞，+∞)上连续，且满足 f(x)[∫0xetf(t)dt+1]=x+1． 求f(x)的表达式，并证明所得到的f(x)的确在(一∞，+∞)上连续．

设f(x)在区间(一∞，+∞)上连续，且满足 f(x)[∫0xetf(t)dt+1]=x+1． 求f(x)的表达式，并证明所得到的f(x)的确在(一∞，+∞)上连续．

admin2018-09-20  44
问题 设f(x)在区间(一∞，+∞)上连续，且满足
    f(x)[∫0xetf(t)dt+1]=x+1．
求f(x)的表达式，并证明所得到的f(x)的确在(一∞，+∞)上连续．
选项
答案化成常微分方程处理．为此，令 F(x)=∫0xetf(t)dt+1， 有F’(x)=exf(x)，f(x)=e-xF’(x)．代入原给方程，得 e-xF’(x)F(x)=x+1， F’(x)F(x)=(x+1)ex， [*] 两边积分，得 [*] 因F(0)=∫00etf(t)dt+1=1，所以[*]故 F2(x)=2xex+1，F(x)=[*] 但因F(0)=1＞0，所以取“+”，于是 [*] 下面证明，在区间(一∞，+∞)上，函数φ(x)=2xex+1＞0． 事实上，φ’(x)=2(x+1)ex，令φ’(x)=0，得x=一1．当x＜一1时，φ’(x)＜0；当x＞一1时，φ’(x)＞0，所以φmin=φ(一1)=1—2e-1=[*] 从而知f(x)表达式的分母根号内恒为正，故f(x)在(一∞，+∞)上连续．讨论完毕．
解析
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考研数学三

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