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设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数. (1)试证存在x0∈(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积. (2)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且f’(x)>.证
设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数. (1)试证存在x0∈(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积. (2)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且f’(x)>.证
admin
2016-06-27
94
问题
设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.
(1)试证存在x
0
∈(0,1),使得在区间[0,x
0
]上以f(x
0
)为高的矩形面积,等于在区间[x
0
,1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积.
(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且f’(x)>
.证明(1)中的x
0
是唯一的.
选项
答案
(1)本题可转化为证明x
0
f(x
0
)=[*]令φ(x)=一x∫
x
1
f(t)dt,则φ(x)在闭区间[0,1]上是连续的,在开区间(0,1)上是可导的,又因为φ(0)=φ(1)=0,根据罗尔定理可知,存在x
0
∈(0,1),使得φ’(x
0
)=0,即 [*] (2)令 F(x)=xf(x)一∫
x
1
f(t)dt, [*] F’(x)=xf’(x)+f(x)+f(x)=2f(x)+xf’(x)>0, 即F(x)在(0,1)内是严格单调递增的,从而F(x)=0的点x=x
0
一定唯一,因此(1)中的点是唯一的.
解析
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0
考研数学三
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