2. 考研
  3. 设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数． (1)试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积． (2)又设f(x)在区间(0，1)内可导，且f’(x)＞．证

设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数． (1)试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积． (2)又设f(x)在区间(0，1)内可导，且f’(x)＞．证

admin2016-06-27  55
问题 设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数．
(1)试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积．
(2)又设f(x)在区间(0，1)内可导，且f’(x)＞．证明(1)中的x0是唯一的．
选项
答案(1)本题可转化为证明x0f(x0)=[*]令φ(x)=一x∫x1f(t)dt，则φ(x)在闭区间[0，1]上是连续的，在开区间(0，1)上是可导的，又因为φ(0)=φ(1)=0，根据罗尔定理可知，存在x0∈(0，1)，使得φ’(x0)=0，即 [*] (2)令 F(x)=xf(x)一∫x1f(t)dt， [*] F’(x)=xf’(x)+f(x)+f(x)=2f(x)+xf’(x)＞0， 即F(x)在(0，1)内是严格单调递增的，从而F(x)=0的点x=x0一定唯一，因此(1)中的点是唯一的．
解析
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考研数学三

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