(11年)证明方程4arctanχ－χ＋＝0恰有两个实根．

admin2019-05-11 52

问题 (11年)证明方程4arctanχ－χ＋

＝0恰有两个实根．

选项

答案设f(χ)＝4arctanχ－χ＋[*] [*] 令f′(χ)＝0，解得驻点χ₁＝－[*]，χ₂＝[*] 由单调性判别法知 f(χ)在(－∞，－[*]]上单调减少，在[*]上单调增加，在[[*]，＋∞)上单调减少．因为f(－[*])＝0，且由上述单调性可知f(－[*])是f(χ)在(－∞，[*]]上的最小值，所以χ＝－[*]是函数f(χ)在(－∞，[*]]，上唯一的零点．又因为[*]＞0，且[*]f(χ)＝－∞，所以由连续函数的介值定理知f(χ)在([*]，＋∞)内存在零点，且由f(χ)的单调性知零点唯一．综上可知，f(χ)在(－∞，＋∞)内恰有两个零点，即原方程恰有两个实根．

解析

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考研数学三

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