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(11年)证明方程4arctanχ-χ+=0恰有两个实根.
(11年)证明方程4arctanχ-χ+=0恰有两个实根.
admin
2019-05-11
25
问题
(11年)证明方程4arctanχ-χ+
=0恰有两个实根.
选项
答案
设f(χ)=4arctanχ-χ+[*] [*] 令f′(χ)=0,解得驻点χ
1
=-[*],χ
2
=[*] 由单调性判别法知 f(χ)在(-∞,-[*]]上单调减少,在[*]上单调增加,在[[*],+∞)上单调减少. 因为f(-[*])=0,且由上述单调性可知f(-[*])是f(χ)在(-∞,[*]]上的最小值,所以χ=-[*]是函数f(χ)在(-∞,[*]],上唯一的零点. 又因为[*]>0,且[*]f(χ)=-∞, 所以由连续函数的介值定理知f(χ)在([*],+∞)内存在零点,且由f(χ)的单调性知零点唯一. 综上可知,f(χ)在(-∞,+∞)内恰有两个零点,即原方程恰有两个实根.
解析
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考研数学三
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